Страница 19 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

34. Точка D не лежит в плоскости треугольника ABC, точки М, N и Р — середины отрезков DA, DB и DC соответственно, точка K лежит на отрезке BN. Выясните взаимное расположение прямых:

a) ND и АВ;

б) РK и ВС;

в) MN и АВ;

г) МР и АС;

д) KN и АС;

е) MD и ВС.

а) ND и AB

Точки N, D, B лежат на одной прямой, так как N — середина отрезка DB. Следовательно, прямая ND совпадает с прямой DB. Прямые DB и AB лежат в одной плоскости (плоскости треугольника ABD) и имеют общую точку B. Поскольку точки A, B, D не лежат на одной прямой (они образуют треугольник), прямые DB и AB не совпадают. Таким образом, эти прямые пересекаются в точке B.

Ответ: пересекающиеся.

б) PK и BC

Рассмотрим плоскость треугольника DBC. Точка P — середина DC, поэтому P принадлежит плоскости (DBC). Точка N — середина DB, поэтому N принадлежит плоскости (DBC). Точка B также принадлежит этой плоскости. Поскольку точка K лежит на отрезке BN, а точки B и N лежат в плоскости (DBC), то и точка K лежит в этой плоскости. Следовательно, вся прямая PK содержится в плоскости (DBC). Прямая BC также лежит в плоскости (DBC). Таким образом, прямые PK и BC копланарны (лежат в одной плоскости), а значит они либо пересекаются, либо параллельны.

В треугольнике DBC отрезок NP является средней линией, так как N и P — середины сторон DB и DC. По свойству средней линии, $NP \parallel BC$. В плоскости (DBC) через точку P можно провести только одну прямую, параллельную BC. Эта прямая — NP.

Прямая PK будет параллельна BC только в том случае, если она совпадает с прямой NP. Это возможно, только если точка K лежит на прямой NP. Но по условию, K лежит на прямой BN. Следовательно, для того чтобы прямая PK была параллельна BC, точка K должна быть точкой пересечения прямых BN и NP, то есть K должна совпадать с N.

Если $K=N$, то прямая PK совпадает с PN, и $PN \parallel BC$. В этом случае прямые параллельны.

Если K — любая другая точка отрезка BN ($K \neq N$), то прямая PK не совпадает с прямой PN и, следовательно, не параллельна BC. А поскольку прямые PK и BC лежат в одной плоскости и не параллельны, они пересекаются.

Ответ: прямые пересекаются, если точка K не совпадает с точкой N; прямые параллельны, если точка K совпадает с точкой N.

в) MN и AB

Рассмотрим треугольник ADB. По условию, M — середина стороны DA, а N — середина стороны DB. Следовательно, отрезок MN является средней линией треугольника ADB. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне треугольника. Таким образом, $MN \parallel AB$.

Ответ: параллельные.

г) MP и AC

Рассмотрим треугольник ADC. По условию, M — середина стороны DA, а P — середина стороны DC. Следовательно, отрезок MP является средней линией треугольника ADC. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне треугольника. Таким образом, $MP \parallel AC$.

Ответ: параллельные.

д) KN и AC

Поскольку точка K лежит на отрезке BN, точки K, N, B лежат на одной прямой. Значит, прямая KN совпадает с прямой BN. Таким образом, задача сводится к определению взаимного расположения прямых BN и AC.

Прямая AC лежит в плоскости (ABC). Точка B также лежит в этой плоскости. Точка N является серединой отрезка DB. Так как точка D по условию не лежит в плоскости (ABC), то и точка N не лежит в этой плоскости. Следовательно, прямая BN пересекает плоскость (ABC) в точке B, но не лежит в ней.

Поскольку прямые BN и AC не лежат в одной плоскости, они не могут быть ни параллельными, ни пересекающимися. Такие прямые называются скрещивающимися.

Ответ: скрещивающиеся.

е) MD и BC

Поскольку точка M является серединой отрезка DA, точки M, D, A лежат на одной прямой. Значит, прямая MD совпадает с прямой DA. Таким образом, задача сводится к определению взаимного расположения прямых DA и BC.

Прямые DA и BC являются противоположными рёбрами тетраэдра ABCD. Противоположные рёбра тетраэдра не лежат в одной плоскости. Если бы они лежали в одной плоскости, то все четыре вершины A, B, C, D были бы компланарны, что противоречит условию задачи ("Точка D не лежит в плоскости треугольника ABC").

Так как прямые DA и BC не лежат в одной плоскости, они являются скрещивающимися.

Ответ: скрещивающиеся.

35. Через точку М, не лежащую на прямой а, проведены две прямые, не имеющие общих точек с прямой а. Докажите, что по крайней мере одна из этих прямых и прямая а являются скрещивающимися прямыми.

Пусть через точку $M$, не лежащую на прямой $a$, проведены две различные прямые $b$ и $c$. По условию, ни одна из этих прямых не имеет общих точек с прямой $a$. Это означает, что $b \cap a = \emptyset$ и $c \cap a = \emptyset$.

Две прямые в пространстве, не имеющие общих точек, могут быть либо параллельными, либо скрещивающимися. Таким образом, каждая из прямых $b$ и $c$ либо параллельна прямой $a$, либо скрещивается с ней. Нам необходимо доказать, что по крайней мере в одном случае (для пары $(a, b)$ или для пары $(a, c)$) прямые являются скрещивающимися.

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что утверждение задачи неверно. То есть, предположим, что ни одна из прямых $b$ и $c$ не скрещивается с прямой $a$.

Из этого предположения следует, что раз прямая $b$ не пересекает прямую $a$ и не скрещивается с ней, то она должна быть параллельна прямой $a$ ($b \parallel a$). Аналогично, прямая $c$ также должна быть параллельна прямой $a$ ($c \parallel a$).

Таким образом, мы приходим к ситуации, когда через точку $M$, не лежащую на прямой $a$, проходят две различные прямые ($b$ и $c$), и обе они параллельны одной и той же прямой $a$.

Это противоречит известной теореме стереометрии (следствию из аксиомы о параллельных прямых), которая гласит: через точку в пространстве, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Поскольку по условию задачи прямые $b$ и $c$ различны, они не могут быть одновременно параллельны прямой $a$. Значит, наше первоначальное предположение было ложным.

Следовательно, по крайней мере одна из прямых — $b$ или $c$ — не является параллельной прямой $a$. А так как она ее и не пересекает, то она скрещивается с прямой $a$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство строится на методе от противного. Если предположить, что обе прямые, проходящие через точку $M$ (назовем их $b$ и $c$), не скрещиваются с прямой $a$, то, поскольку они ее и не пересекают, они обе должны быть параллельны прямой $a$. Однако это противоречит теореме о том, что через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Так как по условию $b$ и $c$ — это две разные прямые, они не могут быть обе параллельны $a$. Следовательно, хотя бы одна из них не параллельна $a$, а значит, скрещивается с ней.

36. Прямая с пересекает прямую а и не пересекает прямую b, параллельную прямой а. Докажите, что b и с — скрещивающиеся прямые.

Для доказательства того, что прямые $b$ и $c$ являются скрещивающимися, нам необходимо показать, что они удовлетворяют двум условиям:

1. Они не пересекаются.
2. Они не параллельны.

1. Доказательство того, что прямые $b$ и $c$ не пересекаются.

Это условие дано непосредственно в условии задачи: сказано, что прямая $c$ «не пересекает прямую $b$». Следовательно, первая часть определения скрещивающихся прямых выполнена.

2. Доказательство того, что прямые $b$ и $c$ не параллельны.

Будем доказывать этот пункт методом от противного. Предположим, что прямые $b$ и $c$ все-таки параллельны, то есть $b \parallel c$.

Из условия задачи мы знаем, что прямая $a$ параллельна прямой $b$, то есть $a \parallel b$.

Теперь у нас есть система из двух утверждений:

• $a \parallel b$ (по условию)
• $b \parallel c$ (наше предположение)

Согласно теореме о двух прямых, параллельных третьей, если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Из $a \parallel b$ и $c \parallel b$ следует, что $a \parallel c$.

Однако это заключение ($a \parallel c$) прямо противоречит условию задачи, в котором говорится, что «прямая $c$ пересекает прямую $a$». Параллельные прямые по определению не могут пересекаться.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, прямые $b$ и $c$ не могут быть параллельными.

Вывод

Мы установили, что прямые $b$ и $c$ не пересекаются и не являются параллельными. По определению, две прямые в пространстве, которые не пересекаются и не параллельны, называются скрещивающимися.

Таким образом, доказано, что прямые $b$ и $c$ — скрещивающиеся.

Ответ: Утверждение доказано. Поскольку прямая $c$ не пересекает прямую $b$ и, как было показано, не параллельна ей, то по определению прямые $b$ и $c$ являются скрещивающимися.

37. Прямая m пересекает сторону АВ треугольника ABC. Каково взаимное расположение прямых m и ВС, если:

а) прямая m лежит в плоскости ABC и не имеет общих точек с отрезком АС;

б) прямая m не лежит в плоскости ABC?

а) прямая $m$ лежит в плоскости $ABC$ и не имеет общих точек с отрезком $AC$;

Пусть плоскость треугольника $ABC$ будет плоскостью $?$. По условию, прямая $m$ лежит в этой же плоскости $?$. Прямая $m$ пересекает сторону $AB$ треугольника в некоторой точке $M$. Таким образом, точка $M$ является внутренней точкой отрезка $AB$.

Рассмотрим прямую $m$ и треугольник $ABC$ в плоскости $?$. Прямая $m$ разделяет плоскость на две полуплоскости. Поскольку $m$ пересекает отрезок $AB$, его концы, точки $A$ и $B$, лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $m$.

Вершина $C$ треугольника может лежать в любой из этих двух полуплоскостей.

• Если точки $C$ и $A$ лежат в одной полуплоскости, то точки $B$ и $C$ будут лежать в разных полуплоскостях. По определению, это означает, что отрезок $BC$ пересекает прямую $m$.
• Если точки $C$ и $B$ лежат в одной полуплоскости, то точки $A$ и $C$ будут лежать в разных полуплоскостях. Это означает, что отрезок $AC$ пересекает прямую $m$.

Согласно условию задачи, прямая $m$ не имеет общих точек с отрезком $AC$. Следовательно, второй случай невозможен. Это оставляет только первую возможность: прямая $m$ пересекает отрезок $BC$. Если прямая $m$ пересекает отрезок $BC$, то прямые $m$ и $BC$ пересекаются.

Этот же вывод следует из аксиомы Паша: прямая на плоскости, пересекающая одну сторону треугольника (и не проходящая через его вершины), обязана пересечь ещё ровно одну из двух других сторон. Так как по условию она не пересекает сторону $AC$, она должна пересекать сторону $BC$.

Ответ: Прямые $m$ и $BC$ пересекаются.

б) прямая $m$ не лежит в плоскости $ABC$?

Пусть плоскость треугольника $ABC$ будет плоскостью $?$. По условию, прямая $m$ не лежит в плоскости $?$. Прямая $m$ пересекает сторону $AB$ в точке $M$. Так как отрезок $AB$ полностью лежит в плоскости $?$ ($AB \subset ?$), то точка пересечения $M$ также принадлежит плоскости $?$ ($M \in ?$).

Поскольку прямая $m$ не лежит в плоскости $?$, она может иметь с ней только одну общую точку. Этой точкой является $M$.

Проанализируем взаимное расположение прямых $m$ и $BC$ в пространстве. Возможны три варианта: они пересекаются, параллельны или скрещиваются.

1. Пересечение: Если бы прямые $m$ и $BC$ пересекались, их точка пересечения должна была бы принадлежать обеим прямым. Так как прямая $BC$ целиком лежит в плоскости $?$, точка пересечения также лежала бы в плоскости $?$. Но единственная точка прямой $m$, принадлежащая плоскости $?$, — это точка $M$. Значит, прямые могли бы пересечься только в точке $M$. Однако точка $M$ лежит на стороне $AB$. Так как $A, B, C$ — вершины треугольника, они не коллинеарны, и точка $M$ (внутренняя точка отрезка $AB$) не может лежать на прямой $BC$. Следовательно, прямые $m$ и $BC$ не пересекаются.
2. Параллельность: Предположим, что прямая $m$ параллельна прямой $BC$ ($m \parallel BC$). По признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая ($m$), не лежащая в плоскости ($?$), параллельна некоторой прямой ($BC$), лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости ($m \parallel ?$). Однако это противоречит условию задачи, так как прямая $m$ пересекает прямую $AB$, лежащую в плоскости $?$, а значит, пересекает и саму плоскость $?$. Следовательно, прямые $m$ и $BC$ не могут быть параллельны.
3. Скрещивание: Две прямые в пространстве, которые не пересекаются и не параллельны, называются скрещивающимися. Так как мы показали, что прямые $m$ и $BC$ не пересекаются и не параллельны, они являются скрещивающимися.

Ответ: Прямые $m$ и $BC$ являются скрещивающимися.