Номер 37, страница 19 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

37. Прямая m пересекает сторону АВ треугольника ABC. Каково взаимное расположение прямых m и ВС, если:

а) прямая m лежит в плоскости ABC и не имеет общих точек с отрезком АС;

б) прямая m не лежит в плоскости ABC?

а) прямая $m$ лежит в плоскости $ABC$ и не имеет общих точек с отрезком $AC$;

Пусть плоскость треугольника $ABC$ будет плоскостью $?$. По условию, прямая $m$ лежит в этой же плоскости $?$. Прямая $m$ пересекает сторону $AB$ треугольника в некоторой точке $M$. Таким образом, точка $M$ является внутренней точкой отрезка $AB$.

Рассмотрим прямую $m$ и треугольник $ABC$ в плоскости $?$. Прямая $m$ разделяет плоскость на две полуплоскости. Поскольку $m$ пересекает отрезок $AB$, его концы, точки $A$ и $B$, лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $m$.

Вершина $C$ треугольника может лежать в любой из этих двух полуплоскостей.

• Если точки $C$ и $A$ лежат в одной полуплоскости, то точки $B$ и $C$ будут лежать в разных полуплоскостях. По определению, это означает, что отрезок $BC$ пересекает прямую $m$.
• Если точки $C$ и $B$ лежат в одной полуплоскости, то точки $A$ и $C$ будут лежать в разных полуплоскостях. Это означает, что отрезок $AC$ пересекает прямую $m$.

Согласно условию задачи, прямая $m$ не имеет общих точек с отрезком $AC$. Следовательно, второй случай невозможен. Это оставляет только первую возможность: прямая $m$ пересекает отрезок $BC$. Если прямая $m$ пересекает отрезок $BC$, то прямые $m$ и $BC$ пересекаются.

Этот же вывод следует из аксиомы Паша: прямая на плоскости, пересекающая одну сторону треугольника (и не проходящая через его вершины), обязана пересечь ещё ровно одну из двух других сторон. Так как по условию она не пересекает сторону $AC$, она должна пересекать сторону $BC$.

Ответ: Прямые $m$ и $BC$ пересекаются.

б) прямая $m$ не лежит в плоскости $ABC$?

Пусть плоскость треугольника $ABC$ будет плоскостью $?$. По условию, прямая $m$ не лежит в плоскости $?$. Прямая $m$ пересекает сторону $AB$ в точке $M$. Так как отрезок $AB$ полностью лежит в плоскости $?$ ($AB \subset ?$), то точка пересечения $M$ также принадлежит плоскости $?$ ($M \in ?$).

Поскольку прямая $m$ не лежит в плоскости $?$, она может иметь с ней только одну общую точку. Этой точкой является $M$.

Проанализируем взаимное расположение прямых $m$ и $BC$ в пространстве. Возможны три варианта: они пересекаются, параллельны или скрещиваются.

1. Пересечение: Если бы прямые $m$ и $BC$ пересекались, их точка пересечения должна была бы принадлежать обеим прямым. Так как прямая $BC$ целиком лежит в плоскости $?$, точка пересечения также лежала бы в плоскости $?$. Но единственная точка прямой $m$, принадлежащая плоскости $?$, — это точка $M$. Значит, прямые могли бы пересечься только в точке $M$. Однако точка $M$ лежит на стороне $AB$. Так как $A, B, C$ — вершины треугольника, они не коллинеарны, и точка $M$ (внутренняя точка отрезка $AB$) не может лежать на прямой $BC$. Следовательно, прямые $m$ и $BC$ не пересекаются.
2. Параллельность: Предположим, что прямая $m$ параллельна прямой $BC$ ($m \parallel BC$). По признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая ($m$), не лежащая в плоскости ($?$), параллельна некоторой прямой ($BC$), лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости ($m \parallel ?$). Однако это противоречит условию задачи, так как прямая $m$ пересекает прямую $AB$, лежащую в плоскости $?$, а значит, пересекает и саму плоскость $?$. Следовательно, прямые $m$ и $BC$ не могут быть параллельны.
3. Скрещивание: Две прямые в пространстве, которые не пересекаются и не параллельны, называются скрещивающимися. Так как мы показали, что прямые $m$ и $BC$ не пересекаются и не параллельны, они являются скрещивающимися.

Ответ: Прямые $m$ и $BC$ являются скрещивающимися.