Номер 42, страница 20 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

42. Даны параллелограмм ABCD и трапеция АВЕK с основанием ЕK, не лежащие в одной плоскости.

а) Выясните взаимное расположение прямых CD и ЕK.

б) Найдите периметр трапеции, если известно, что в неё можно вписать окружность и АВ = 22,5 см, ЕK = 27,5 см.

а)

По условию задачи, $ABCD$ — это параллелограмм. Из определения параллелограмма следует, что его противолежащие стороны параллельны. Таким образом, прямая $CD$ параллельна прямой $AB$ ($CD \parallel AB$).

Также по условию, $ABEK$ — это трапеция с основанием $EK$. В трапеции основания параллельны. Сторона $AB$ противолежит основанию $EK$, следовательно, $AB$ является вторым основанием трапеции. Таким образом, прямая $AB$ параллельна прямой $EK$ ($AB \parallel EK$).

Итак, мы имеем, что $CD \parallel AB$ и $AB \parallel EK$. В стереометрии существует теорема: если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Применяя эту теорему, получаем, что $CD \parallel EK$.

Так как по условию фигуры не лежат в одной плоскости, то прямые $CD$ и $EK$ не совпадают.

Ответ: Прямые $CD$ и $EK$ параллельны.

б)

По условию, в трапецию $ABEK$ можно вписать окружность. Четырёхугольник, в который можно вписать окружность, называется описанным. Для описанного четырёхугольника (и, в частности, для трапеции) справедливо свойство, известное как теорема Пито: суммы длин противолежащих сторон равны.

Для трапеции $ABEK$ это свойство означает, что сумма длин оснований ($AB$ и $EK$) равна сумме длин боковых сторон ($BE$ и $KA$):

$AB + EK = BE + KA$

Периметр трапеции $P_{ABEK}$ равен сумме длин всех её сторон:

$P_{ABEK} = AB + BE + EK + KA$

Сгруппируем слагаемые: $P_{ABEK} = (AB + EK) + (BE + KA)$.

Так как $BE + KA = AB + EK$, мы можем подставить это выражение в формулу периметра:

$P_{ABEK} = (AB + EK) + (AB + EK) = 2 \cdot (AB + EK)$

Подставим в полученную формулу числовые значения из условия: $AB = 22,5$ см и $EK = 27,5$ см.

$P_{ABEK} = 2 \cdot (22,5 + 27,5) = 2 \cdot 50 = 100$ см.

Ответ: 100 см.