Номер 41, страница 20 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Взаимное расположение прямых в пространстве. Глава 1. Параллельность прямых и плоскостей - номер 41, страница 20.

41. Может ли каждая из двух скрещивающихся прямых быть параллельна третьей прямой? Ответ обоснуйте.

Нет, каждая из двух скрещивающихся прямых не может быть параллельна одной и той же третьей прямой. Обоснуем это утверждение с помощью доказательства от противного.

Пусть даны две скрещивающиеся прямые, назовем их $a$ и $b$. По определению, скрещивающиеся прямые — это прямые в пространстве, которые не пересекаются и не параллельны друг другу.

Предположим обратное, то есть что существует третья прямая $c$, которой параллельны обе прямые $a$ и $b$. Математически это можно записать как $a \parallel c$ и $b \parallel c$.

Согласно основной теореме о параллельности прямых в пространстве (свойство транзитивности): если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

Из нашего предположения ($a \parallel c$ и $b \parallel c$) и этой теоремы следует, что прямая $a$ должна быть параллельна прямой $b$, то есть $a \parallel b$.

Однако этот вывод ($a \parallel b$) вступает в прямое противоречие с исходным условием задачи, в котором говорится, что прямые $a$ и $b$ являются скрещивающимися. По определению, скрещивающиеся прямые не параллельны.

Поскольку мы пришли к противоречию, наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, две скрещивающиеся прямые не могут быть одновременно параллельны третьей прямой.

Ответ: Нет, не может. Если бы две скрещивающиеся прямые были параллельны третьей прямой, то по теореме о транзитивности параллельности они были бы параллельны и друг другу, что противоречит определению скрещивающихся прямых.