Номер 41, страница 20 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 1. Параллельность прямых и плоскостей. Параграф 2. Взаимное расположение прямых в пространстве - номер 41, страница 20.

Условие.

41. Может ли каждая из двух скрещивающихся прямых быть параллельна третьей прямой? Ответ обоснуйте.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Нет, каждая из двух скрещивающихся прямых не может быть параллельна одной и той же третьей прямой. Обоснуем это утверждение с помощью доказательства от противного.

Пусть даны две скрещивающиеся прямые, назовем их $a$ и $b$. По определению, скрещивающиеся прямые — это прямые в пространстве, которые не пересекаются и не параллельны друг другу.

Предположим обратное, то есть что существует третья прямая $c$, которой параллельны обе прямые $a$ и $b$. Математически это можно записать как $a \parallel c$ и $b \parallel c$.

Согласно основной теореме о параллельности прямых в пространстве (свойство транзитивности): если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

Из нашего предположения ($a \parallel c$ и $b \parallel c$) и этой теоремы следует, что прямая $a$ должна быть параллельна прямой $b$, то есть $a \parallel b$.

Однако этот вывод ($a \parallel b$) вступает в прямое противоречие с исходным условием задачи, в котором говорится, что прямые $a$ и $b$ являются скрещивающимися. По определению, скрещивающиеся прямые не параллельны.

Поскольку мы пришли к противоречию, наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, две скрещивающиеся прямые не могут быть одновременно параллельны третьей прямой.

Ответ: Нет, не может. Если бы две скрещивающиеся прямые были параллельны третьей прямой, то по теореме о транзитивности параллельности они были бы параллельны и друг другу, что противоречит определению скрещивающихся прямых.