Страница 7 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

1. По рисунку 8 назовите: а) плоскости, в которых лежат прямые РЕ, МK, DB, АВ, ЕС; б) точки пересечения прямой DK с плоскостью ABC, прямой СЕ с плоскостью ADB; в) точки, лежащие в плоскостях ADB и DВС; г) прямые, по которым пересекаются плоскости ABC и DCB, ABD и CDA, PDC и ABC.

а) Для того чтобы прямая лежала в плоскости, необходимо, чтобы как минимум две ее точки принадлежали этой плоскости.

Прямая PE: Точка $P$ изображена в плоскости $ADC$, а точка $E$ — на прямой $AB$, которая принадлежит плоскостям $ABC$ и $ABD$. В такой конфигурации прямая $PE$ не принадлежит ни одной из граней тетраэдра. Однако, в учебных задачах подобные изображения часто бывают условными. Если мы предположим, что точка $P$ на самом деле лежит на ребре $AD$, то обе точки, $P$ и $E$, будут принадлежать плоскости $ABD$.

Прямая MK: Точка $M$ лежит на ребре $BC$, а точка $K$ — на ребре $DC$. Обе эти точки принадлежат плоскости $DBC$, следовательно, прямая $MK$ лежит в плоскости $(DBC)$.

Прямая DB: Эта прямая является ребром тетраэдра и общей линией для двух граней (плоскостей): $ABD$ и $DBC$.

Прямая AB: Эта прямая является ребром тетраэдра и общей линией для двух граней (плоскостей): $ABC$ и $ABD$.

Прямая EC: Точка $E$ лежит на прямой $AB$, а значит, в плоскости $ABC$. Точка $C$ также принадлежит этой плоскости. Следовательно, вся прямая $EC$ лежит в плоскости $(ABC)$.

Ответ: $PE$ лежит в плоскости $(ABD)$ (при допущении, что $P \in AD$); $MK$ лежит в плоскости $(DBC)$; $DB$ лежит в плоскостях $(ABD)$ и $(DBC)$; $AB$ лежит в плоскостях $(ABC)$ и $(ABD)$; $EC$ лежит в плоскости $(ABC)$.

б) Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости необходимо найти их общую точку.

Пересечение прямой DK с плоскостью ABC: Так как точка $K$ лежит на ребре $DC$, прямая $DK$ совпадает с прямой $DC$. Прямая $DC$ пересекает плоскость основания $ABC$ в точке $C$. Таким образом, точка $C$ является точкой пересечения.

Пересечение прямой CE с плоскостью ADB: Прямая $CE$ полностью находится в плоскости $ABC$. Плоскость $ADB$ пересекает плоскость $ABC$ по прямой $AB$. Точка пересечения прямой $CE$ с плоскостью $ADB$ должна лежать на этой линии пересечения $AB$. По построению, точка $E$ принадлежит как прямой $CE$, так и прямой $AB$. Следовательно, $E$ является точкой пересечения.

Ответ: точка пересечения прямой $DK$ с плоскостью $ABC$ — это точка $C$; точка пересечения прямой $CE$ с плоскостью $ADB$ — это точка $E$.

в) Точки, лежащие в плоскостях $ADB$ и $DBC$ одновременно, — это точки, принадлежащие линии пересечения этих плоскостей.

Плоскости $ADB$ и $DBC$ — это две грани тетраэдра, имеющие общие вершины $D$ и $B$. Линия их пересечения — это прямая $DB$. Из всех обозначенных на рисунке точек, на прямой $DB$ лежат только вершины $D$ и $B$.

Ответ: точки $D$ и $B$.

г) Линия пересечения двух плоскостей — это прямая, которую можно определить по двум общим точкам этих плоскостей.

Пересечение плоскостей ABC и DCB: Общими точками этих плоскостей являются вершины $B$ и $C$. Следовательно, они пересекаются по прямой $BC$.

Пересечение плоскостей ABD и CDA: Общими точками этих плоскостей являются вершины $A$ и $D$. Следовательно, они пересекаются по прямой $AD$.

Пересечение плоскостей PDC и ABC: Точка $P$ лежит в плоскости $ADC$. Это означает, что плоскость, проходящая через точки $P, D, C$, является той же самой плоскостью, что и $ADC$. Таким образом, задача сводится к нахождению пересечения плоскостей $ADC$ и $ABC$. Общими точками этих плоскостей являются $A$ и $C$, значит, они пересекаются по прямой $AC$.

Ответ: плоскости $ABC$ и $DCB$ пересекаются по прямой $BC$; плоскости $ABD$ и $CDA$ пересекаются по прямой $AD$; плоскости $PDC$ и $ABC$ пересекаются по прямой $AC$.