Номер 16, страница 13 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Параллельность прямых, прямой и плоскости. Глава 1. Параллельность прямых и плоскостей - номер 16, страница 13.

16. Параллельные прямые а и b лежат в плоскости α. Докажите, что прямая с, пересекающая прямые а и b, также лежит в плоскости α.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся одной из ключевых аксиом стереометрии: если две различные точки прямой принадлежат плоскости, то все точки этой прямой принадлежат этой плоскости.

По условию задачи, прямая $c$ пересекает прямые $a$ и $b$. Обозначим точки пересечения следующим образом:

• Пусть $A$ — точка пересечения прямой $c$ и прямой $a$. То есть, $A = c \cap a$.
• Пусть $B$ — точка пересечения прямой $c$ и прямой $b$. То есть, $B = c \cap b$.

Рассмотрим принадлежность этих точек плоскости $\alpha$:

1. Точка $A$ принадлежит прямой $a$ ($A \in a$). Поскольку по условию прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), то и любая её точка, включая точку $A$, также лежит в этой плоскости. Следовательно, $A \in \alpha$.

2. Аналогично, точка $B$ принадлежит прямой $b$ ($B \in b$). Поскольку по условию прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$), то и точка $B$ лежит в этой плоскости. Следовательно, $B \in \alpha$.

Так как прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$), они не имеют общих точек. Это означает, что точки их пересечения с прямой $c$, то есть точки $A$ и $B$, различны ($A \neq B$).

Таким образом, мы установили, что две различные точки $A$ и $B$, принадлежащие прямой $c$, одновременно лежат в плоскости $\alpha$.

Исходя из аксиомы, упомянутой в начале, если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая целиком лежит в этой плоскости. Следовательно, прямая $c$ лежит в плоскости $\alpha$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Прямая $c$, пересекающая параллельные прямые $a$ и $b$, проходит через две различные точки $A$ и $B$, где $A \in a$ и $B \in b$. Так как прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\alpha$, то и точки $A$ и $B$ принадлежат плоскости $\alpha$. Согласно аксиоме стереометрии, прямая, проходящая через две точки, лежащие в плоскости, целиком принадлежит этой плоскости. Следовательно, прямая $c$ также лежит в плоскости $\alpha$.