Номер 14, страница 8 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

14. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две из них проведена плоскость. Сколько всего проведено плоскостей?

Для решения данной задачи необходимо определить, сколько различных плоскостей можно провести через данные прямые. Воспользуемся одной из аксиом стереометрии: через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

По условию, у нас есть три прямые, которые проходят через одну общую точку. Это означает, что любые две из этих прямых являются пересекающимися. Следовательно, каждая пара прямых однозначно определяет одну плоскость.

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы найти, сколько различных пар можно составить из трех прямых. Это является классической комбинаторной задачей на нахождение числа сочетаний из 3 элементов по 2.

Количество сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n=3$ (общее количество прямых), а $k=2$ (количество прямых в одной паре, необходимое для задания плоскости). Подставим значения в формулу:

$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot 1} = 3$

Это означает, что мы можем сформировать 3 уникальные пары прямых. Теперь необходимо рассмотреть, будут ли плоскости, определенные этими парами, различными.

Возможны два случая:

1. Общий случай: Три прямые не лежат в одной плоскости (некомпланарны). Например, как ребра куба, выходящие из одной вершины. В этом случае каждая из трех пар прямых задает свою уникальную плоскость. Таким образом, мы получим 3 различные плоскости.
2. Частный случай: Все три прямые лежат в одной плоскости (компланарны). В этом случае, какую бы пару прямых мы ни взяли, они будут определять одну и ту же плоскость, в которой они все лежат. Таким образом, мы получим только 1 плоскость.

В стандартных формулировках подобных задач, если не оговорено иное, рассматривается общий случай. Следовательно, мы исходим из того, что три прямые не лежат в одной плоскости.

Ответ: 3.