Номер 7, страница 8 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

7. Две прямые пересекаются в точке М. Докажите, что все прямые, не проходящие через точку М и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку М?

Докажите, что все прямые, не проходящие через точку M и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости.

Пусть даны две прямые $a$ и $b$, которые пересекаются в точке $M$.

Согласно аксиоме стереометрии, через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну. Обозначим эту плоскость, содержащую прямые $a$ и $b$, как $\alpha$.

Теперь рассмотрим любую прямую $c$, которая удовлетворяет условиям задачи: она не проходит через точку $M$ и пересекает обе прямые $a$ и $b$.

Пусть точка $A$ является точкой пересечения прямой $c$ и прямой $a$ ($A = c \cap a$), а точка $B$ — точкой пересечения прямой $c$ и прямой $b$ ($B = c \cap b$).

Поскольку прямая $a$ полностью лежит в плоскости $\alpha$, то и любая её точка, включая точку $A$, принадлежит этой плоскости ($A \in \alpha$).

Аналогично, поскольку прямая $b$ полностью лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $B$ принадлежит этой плоскости ($B \in \alpha$).

Точки $A$ и $B$ — это две различные точки. Если бы они совпадали, то эта общая точка была бы точкой пересечения прямых $a$ и $b$, то есть точкой $M$. Но по условию прямая $c$ не проходит через точку $M$, следовательно, точки $A$ и $B$ не могут совпадать с $M$, а значит, и друг с другом. Таким образом, $A \neq B$.

Мы получили, что две различные точки $A$ и $B$ прямой $c$ лежат в плоскости $\alpha$.

По следствию из аксиом стереометрии, если две различные точки прямой лежат в некоторой плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

Следовательно, вся прямая $c$ лежит в плоскости $\alpha$.

Так как прямая $c$ была выбрана произвольно из всех прямых, удовлетворяющих условию, то все такие прямые лежат в одной и той же плоскости $\alpha$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку M?

Нет, не все прямые, проходящие через точку $M$, лежат в одной плоскости.

Две исходные прямые $a$ и $b$ проходят через точку $M$ и, как мы установили ранее, задают единственную плоскость $\alpha$.

Однако в трехмерном пространстве мы можем выбрать точку $P$, которая не принадлежит этой плоскости $\alpha$. Через две различные точки, $M$ и $P$, можно провести единственную прямую. Назовём эту прямую $d$.

Прямая $d$ проходит через точку $M$ по построению. Но она не может лежать в плоскости $\alpha$, так как содержит точку $P$, которая не лежит в плоскости $\alpha$. Если бы прямая $d$ лежала в плоскости $\alpha$, то и все её точки, включая $P$, должны были бы лежать в $\alpha$, что противоречит нашему выбору точки $P$.

Таким образом, мы нашли прямую $d$, которая проходит через точку $M$, но не лежит в той же плоскости, что и прямые $a$ и $b$. Следовательно, не все прямые, проходящие через точку $M$, лежат в одной плоскости. Множество всех прямых, проходящих через одну точку в пространстве, не является плоской фигурой.

Ответ: Нет, не лежат.