Номер 3, страница 8 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

3. Верно ли, что: а) любые три точки лежат в одной плоскости; б) любые четыре точки лежат в одной плоскости; в) любые четыре точки не лежат в одной плоскости; г) через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна?

а) Это утверждение верно. Чтобы доказать это, рассмотрим два возможных случая расположения трех точек в пространстве.
Случай 1: Три точки лежат на одной прямой (коллинеарны). Через любую прямую можно провести бесконечное множество плоскостей (например, как страницы книги, вращающиеся вокруг переплета-прямой). Следовательно, для трех коллинеарных точек существует плоскость, в которой они лежат.
Случай 2: Три точки не лежат на одной прямой. Согласно одной из основных аксиом стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Таким образом, для любой тройки точек всегда найдется как минимум одна плоскость, в которой они все лежат.
Ответ: Верно.

б) Это утверждение неверно. Не любые четыре точки лежат в одной плоскости. Чтобы опровергнуть это утверждение, достаточно привести один контрпример. Возьмем три точки $A$, $B$, и $C$, не лежащие на одной прямой. Они задают единственную плоскость $\alpha$. Теперь выберем четвертую точку $D$ вне этой плоскости $\alpha$. Полученные четыре точки $A, B, C, D$ не лежат в одной плоскости. Классическим примером такого расположения точек являются вершины тетраэдра.
Ответ: Неверно.

в) Это утверждение неверно. Оно является слишком сильным и утверждает, что четыре точки никогда не могут лежать в одной плоскости. Это легко опровергнуть. Например, вершины любого плоского четырехугольника (квадрата, прямоугольника, трапеции) являются четырьмя точками, которые по определению лежат в одной плоскости.
Ответ: Неверно.

г) Это утверждение неверно из-за требования единственности для любых трех точек. Рассмотрим два случая:
Случай 1: Три точки не лежат на одной прямой. В этом случае, согласно аксиоме, через них действительно проходит единственная плоскость. Для таких точек утверждение справедливо.
Случай 2: Три точки лежат на одной прямой. Через прямую, на которой лежат эти точки, можно провести бесконечное множество плоскостей. Таким образом, плоскость, содержащая эти три точки, существует, но она не является единственной ("не только одна").
Поскольку утверждение должно быть верным для любого набора из трех точек, а для коллинеарных точек условие единственности не выполняется, все утверждение целиком является неверным.
Ответ: Неверно.