Номер 2, страница 8 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

2. По рисунку 9 назовите: а) точки, лежащие в плоскостях DCC₁ и BQC; б) плоскости, в которых лежит прямая AA₁; в) точки пересечения прямой МK с плоскостью ABD, прямых DK и ВР с плоскостью A₁B₁C₁; г) прямые, по которым пересекаются плоскости АА₁В₁ и ACD, РВ₁С₁ и ABC; д) точки пересечения прямых МK и DC, B₁C₁ и BP, C₁M и DC.

а) В плоскости $DCC_1$ (плоскость задней грани $DCC_1D_1$) лежат точки: $D, C, C_1, D_1, K, M$.
Плоскость $BQC$ проходит через точки $B, Q, C$. Поскольку точка $Q$ лежит на ребре $B_1C_1$, то эта плоскость совпадает с плоскостью боковой грани $BCC_1B_1$. В ней лежат точки: $B, C, C_1, B_1, Q, M$.
Ответ: В плоскости $DCC_1$ лежат точки $D, C, C_1, D_1, K, M$. В плоскости $BQC$ лежат точки $B, C, C_1, B_1, Q, M$.

б) Прямая $AA_1$ является общим ребром для передней грани $AA_1B_1B$ и боковой грани $AA_1D_1D$. Следовательно, она лежит в плоскостях этих граней.
Ответ: Плоскости $AA_1B_1$ и $AA_1D_1$.

в) - Пересечение прямой $MK$ с плоскостью $ABD$. Прямая $MK$ лежит в плоскости задней грани $DCC_1D_1$. Плоскость $ABD$ — это плоскость основания $ABCD$. Эти плоскости пересекаются по прямой $DC$. Следовательно, точка пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABD$ лежит на прямой $DC$. Это точка пересечения прямых $MK$ и $DC$.
- Пересечение прямой $DK$ с плоскостью $A_1B_1C_1$. Прямая $DK$ лежит в плоскости $DCC_1D_1$. Плоскость $A_1B_1C_1$ — это плоскость верхнего основания. Эти плоскости пересекаются по прямой $D_1C_1$. Следовательно, точка пересечения прямой $DK$ с плоскостью $A_1B_1C_1$ является точкой пересечения прямых $DK$ и $D_1C_1$.
- Пересечение прямой $BP$ с плоскостью $A_1B_1C_1$. Точка $P$ принадлежит прямой $BP$. По условию, точка $P$ лежит на ребре $A_1D_1$, которое находится в плоскости $A_1B_1C_1$. Значит, точка $P$ принадлежит и прямой $BP$, и плоскости $A_1B_1C_1$, поэтому она и является их точкой пересечения.
Ответ: Точка пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABD$ – это точка пересечения прямых $MK$ и $DC$. Точка пересечения прямой $DK$ с плоскостью $A_1B_1C_1$ – это точка пересечения прямых $DK$ и $D_1C_1$. Точка пересечения прямой $BP$ с плоскостью $A_1B_1C_1$ – это точка $P$.

г) - Пересечение плоскостей $AA_1B_1$ и $ACD$. Плоскость $AA_1B_1$ — это передняя грань $AA_1B_1B$, а плоскость $ACD$ — это нижнее основание $ABCD$. Они пересекаются по общему ребру $AB$.
- Пересечение плоскостей $PB_1C_1$ и $ABC$. Точки $P, B_1, C_1$ все лежат в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$ (так как $P \in A_1D_1$). Следовательно, плоскость $PB_1C_1$ совпадает с плоскостью верхнего основания. Плоскость $ABC$ — это плоскость нижнего основания. В призме плоскости оснований параллельны, поэтому они не пересекаются.
Ответ: Плоскости $AA_1B_1$ и $ACD$ пересекаются по прямой $AB$. Плоскости $PB_1C_1$ и $ABC$ не пересекаются, так как они параллельны.

д) - Пересечение прямых $MK$ и $DC$. Обе прямые лежат в одной плоскости $DCC_1D_1$. Судя по рисунку, они не параллельны (точки $K$ и $M$ находятся на разной высоте), значит, они пересекаются в одной точке.
- Пересечение прямых $B_1C_1$ и $BP$. Прямая $BP$ пересекает плоскость $A_1B_1C_1$, в которой лежит прямая $B_1C_1$, в точке $P$. Точка $P$ лежит на ребре $A_1D_1$. Так как ребра $A_1D_1$ и $B_1C_1$ параллельны и не совпадают, точка $P$ не лежит на прямой $B_1C_1$. Следовательно, прямые $B_1C_1$ и $BP$ не имеют общих точек и являются скрещивающимися.
- Пересечение прямых $C_1M$ и $DC$. Точки $C_1$ и $M$ лежат на ребре $CC_1$, поэтому прямая $C_1M$ совпадает с прямой $CC_1$. Прямые $CC_1$ и $DC$ — это смежные ребра, которые пересекаются в общей вершине $C$.
Ответ: Прямые $MK$ и $DC$ пересекаются в одной точке. Прямые $B_1C_1$ и $BP$ не пересекаются. Прямые $C_1M$ и $DC$ пересекаются в точке $C$.