Номер 4, страница 8 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Введение - номер 4, страница 8.

Условие.

4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой? б) Могут ли прямые АВ и CD пересекаться? Ответ обоснуйте.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

а) Допустим, что три точки из четырех, например $A$, $B$ и $C$, лежат на одной прямой $l$. Четвертая точка $D$ не может лежать на этой прямой, так как в этом случае все четыре точки лежали бы на одной прямой, а значит, и в одной плоскости (даже в бесконечном множестве плоскостей), что противоречит условию задачи.
Согласно аксиоме стереометрии, через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Таким образом, через прямую $l$ (на которой лежат точки $A$, $B$, $C$) и точку $D$ (которая на ней не лежит) можно провести единственную плоскость $\alpha$.
В этой плоскости $\alpha$ будут находиться все четыре точки: $A$, $B$, $C$ (поскольку они принадлежат прямой $l$, лежащей в плоскости $\alpha$) и $D$ (по построению плоскости). Получаем, что все четыре точки $A, B, C, D$ лежат в одной плоскости. Это противоречит исходному условию.
Следовательно, наше предположение было неверным.
Ответ: Нет, никакие три из данных точек не могут лежать на одной прямой.

б) Допустим, что прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в некоторой точке $M$.
Согласно теореме стереометрии, через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Обозначим эту плоскость $\beta$.
Поскольку прямая $AB$ лежит в плоскости $\beta$, то и точки $A$ и $B$, принадлежащие этой прямой, лежат в плоскости $\beta$.
Аналогично, поскольку прямая $CD$ лежит в плоскости $\beta$, то и точки $C$ и $D$ лежат в плоскости $\beta$.
В результате все четыре точки $A, B, C$ и $D$ оказываются в одной плоскости $\beta$. Это противоречит условию задачи, в котором сказано, что точки не лежат в одной плоскости.
Следовательно, наше предположение о том, что прямые $AB$ и $CD$ пересекаются, неверно. Такие прямые в пространстве, которые не пересекаются и не параллельны, называются скрещивающимися.
Ответ: Нет, прямые $AB$ и $CD$ не могут пересекаться.