Номер 6, страница 8 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

6. Три данные точки соединены попарно отрезками. Докажите, что все отрезки лежат в одной плоскости .

Для доказательства данного утверждения необходимо рассмотреть два возможных случая расположения трех данных точек в пространстве.

Пусть данные точки обозначены как $A$, $B$ и $C$. Отрезки, попарно соединяющие эти точки, — это $AB$, $BC$ и $AC$.

Случай 1: Точки $A$, $B$ и $C$ не лежат на одной прямой.

В этом случае точки $A$, $B$ и $C$ образуют вершины треугольника. Согласно основной аксиоме стереометрии (Аксиома 1), через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Назовем эту единственную плоскость $\alpha$.

Таким образом, все три точки $A$, $B$ и $C$ принадлежат плоскости $\alpha$.

Теперь рассмотрим отрезки, соединяющие эти точки:

• Отрезок $AB$: его концы, точки $A$ и $B$, лежат в плоскости $\alpha$. Согласно следствию из аксиом стереометрии (если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости), прямая $AB$ целиком лежит в плоскости $\alpha$. Так как отрезок $AB$ является частью прямой $AB$, он также лежит в плоскости $\alpha$.
• Отрезок $BC$: его концы, точки $B$ и $C$, лежат в плоскости $\alpha$. По аналогичной причине весь отрезок $BC$ лежит в плоскости $\alpha$.
• Отрезок $AC$: его концы, точки $A$ и $C$, лежат в плоскости $\alpha$. Следовательно, и отрезок $AC$ лежит в плоскости $\alpha$.

Получается, что все три отрезка $AB$, $BC$ и $AC$ лежат в одной и той же плоскости $\alpha$.

Случай 2: Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой.

Пусть все три точки лежат на некоторой прямой $l$. В этом случае отрезки $AB$, $BC$ и $AC$ также являются частями этой прямой $l$.

Согласно аксиомам стереометрии, через любую прямую в пространстве можно провести плоскость (на самом деле, таких плоскостей бесконечно много). Выберем любую плоскость $\beta$, которая содержит прямую $l$.

Поскольку вся прямая $l$ принадлежит плоскости $\beta$, то и все ее части, включая отрезки $AB$, $BC$ и $AC$, также принадлежат этой плоскости $\beta$.

Таким образом, и в этом случае все три отрезка лежат в одной плоскости.

Так как мы рассмотрели все возможные варианты расположения трех точек, мы доказали, что во всех случаях отрезки, попарно их соединяющие, лежат в одной плоскости.

Ответ: Утверждение доказано. Вне зависимости от того, лежат ли три данные точки на одной прямой или нет, три отрезка, попарно их соединяющие, всегда будут лежать в одной плоскости.