Номер 130, страница 42 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Перпендикулярность прямых и плоскостей. Параграф 1. Перпендикулярность прямой и плоскости - номер 130, страница 42.

Условие.

130. Через вершину В квадрата ABCD проведена прямая BМ. Известно, что ∠MBA = ∠MBC = 90°, MB = m, АВ = n. Найдите расстояния от точки М до:

а) вершин квадрата;

б) прямых АС и BD.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

По условию, прямая $BM$ проведена через вершину $B$ квадрата $ABCD$ так, что $\angle MBA = \angle MBC = 90^{\circ}$. Поскольку прямые $AB$ и $BC$ пересекаются и лежат в плоскости квадрата, прямая $MB$ перпендикулярна плоскости квадрата $(ABC)$. Это значит, что $MB$ — перпендикуляр из точки $M$ к плоскости $(ABC)$ с длиной $m$, а $B$ — его основание. Сторона квадрата $AB = n$.

а) Найдем расстояния от точки $M$ до вершин квадрата. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольных треугольников, в которых одним катетом является перпендикуляр $MB=m$, а вторым катетом — соответствующий отрезок в плоскости квадрата.

Расстояние до вершины $B$ — это длина отрезка $MB$. По условию, $MB = m$.

Расстояние до вершины $A$ — это длина гипотенузы $MA$ в прямоугольном $\triangle MBA$ ($\angle B=90^\circ$). Катеты $MB=m$ и $AB=n$. Следовательно, $MA = \sqrt{MB^2 + AB^2} = \sqrt{m^2 + n^2}$.

Расстояние до вершины $C$ — это длина гипотенузы $MC$ в прямоугольном $\triangle MBC$ ($\angle B=90^\circ$). Катеты $MB=m$ и $BC=n$. Следовательно, $MC = \sqrt{MB^2 + BC^2} = \sqrt{m^2 + n^2}$.

Расстояние до вершины $D$ — это длина гипотенузы $MD$ в прямоугольном $\triangle MBD$ ($\angle B=90^\circ$). Катеты $MB=m$ и диагональ квадрата $BD$. Длина диагонали $BD = \sqrt{AB^2+AD^2} = \sqrt{n^2+n^2} = n\sqrt{2}$. Следовательно, $MD = \sqrt{MB^2 + BD^2} = \sqrt{m^2 + (n\sqrt{2})^2} = \sqrt{m^2 + 2n^2}$.

Ответ: расстояния от точки $M$ до вершин $A, B, C, D$ равны соответственно $\sqrt{m^2 + n^2}$, $m$, $\sqrt{m^2 + n^2}$ и $\sqrt{m^2 + 2n^2}$.

б) Найдем расстояния от точки $M$ до прямых $AC$ и $BD$ (диагоналей квадрата). Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Расстояние до прямой $BD$: Поскольку $MB \perp (ABC)$ и прямая $BD$ лежит в этой плоскости и проходит через $B$, то $MB \perp BD$. Значит, $MB$ является перпендикуляром от точки $M$ к прямой $BD$, и искомое расстояние равно $m$.

Расстояние до прямой $AC$: Пусть $O$ — центр квадрата (точка пересечения диагоналей). В квадрате диагонали перпендикулярны, то есть $BO \perp AC$. По теореме о трех перпендикулярах, так как $MB$ — перпендикуляр к плоскости, а $BO$ — проекция наклонной $MO$ на эту плоскость, и $BO \perp AC$, то и сама наклонная $MO$ перпендикулярна $AC$. Таким образом, длина $MO$ — это искомое расстояние. Найдем ее из прямоугольного $\triangle MBO$ ($\angle MBO=90^\circ$). Катет $BO$ равен половине диагонали: $BO = \frac{1}{2}BD = \frac{n\sqrt{2}}{2}$. По теореме Пифагора: $MO = \sqrt{MB^2 + BO^2} = \sqrt{m^2 + \left(\frac{n\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{m^2 + \frac{2n^2}{4}} = \sqrt{m^2 + \frac{n^2}{2}}$.

Ответ: расстояние от точки $M$ до прямой $AC$ равно $\sqrt{m^2 + \frac{n^2}{2}}$, а до прямой $BD$ равно $m$.