Номер 135, страница 42 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

135. Прямая а перпендикулярна к плоскости α и перпендикулярна к прямой b, не лежащей в этой плоскости. Докажите, что b || α.

Для доказательства данного утверждения используем метод прямого доказательства, основанный на свойствах перпендикулярных и параллельных прямых и плоскостей.

Дано:
1. Прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($a \perp \alpha$).
2. Прямая $a$ перпендикулярна прямой $b$ ($a \perp b$).
3. Прямая $b$ не лежит в плоскости $\alpha$ ($b \not\subset \alpha$).

Доказать:
Прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$ ($b \parallel \alpha$).

Доказательство:

1. Проведём через произвольную точку $M$, принадлежащую прямой $b$, прямую $a'$, параллельную прямой $a$. Согласно аксиоме о параллельных прямых, такая прямая существует и она единственна. Таким образом, у нас есть $a' \parallel a$.

2. По условию задачи, прямая $a$ перпендикулярна прямой $b$ ($a \perp b$). Так как мы построили прямую $a'$ параллельно прямой $a$ ($a' \parallel a$), то по свойству параллельных прямых (если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна этой третьей прямой), следует, что $a' \perp b$.

3. Прямые $a'$ и $b$ пересекаются в точке $M$ по построению. Две пересекающиеся прямые определяют единственную плоскость. Назовём эту плоскость $\beta$. Следовательно, прямые $a'$ и $b$ лежат в плоскости $\beta$ ($a' \subset \beta$ и $b \subset \beta$).

4. Из условия известно, что прямая $a \perp \alpha$. Так как $a' \parallel a$, то по теореме о прямой, параллельной перпендикуляру к плоскости, прямая $a'$ также перпендикулярна плоскости $\alpha$. То есть, $a' \perp \alpha$.

5. Поскольку плоскость $\beta$ содержит прямую $a'$, которая перпендикулярна плоскости $\alpha$, то плоскость $\beta$ не может быть параллельна плоскости $\alpha$. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются. Обозначим их линию пересечения как прямую $c$. Таким образом, $c = \alpha \cap \beta$. Из этого следует, что прямая $c$ лежит в обеих плоскостях: $c \subset \alpha$ и $c \subset \beta$.

6. Так как прямая $a' \perp \alpha$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$. В частности, $a'$ перпендикулярна прямой $c$, так как $c \subset \alpha$. Следовательно, $a' \perp c$.

7. Теперь рассмотрим взаимное расположение прямых в плоскости $\beta$. В этой плоскости лежат прямые $a'$, $b$ и $c$. Из шага 2 мы знаем, что $a' \perp b$. Из шага 6 мы знаем, что $a' \perp c$.

8. По теореме из планиметрии, если две прямые на плоскости (в нашем случае $b$ и $c$ в плоскости $\beta$) перпендикулярны одной и той же третьей прямой ($a'$), то эти две прямые параллельны друг другу. Отсюда следует, что $b \parallel c$.

9. Мы доказали, что прямая $b$ параллельна прямой $c$, которая, в свою очередь, лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$). По условию задачи, прямая $b$ не лежит в плоскости $\alpha$ ($b \not\subset \alpha$).

10. Применяем признак параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Так как $b \not\subset \alpha$ и $b \parallel c$, где $c \subset \alpha$, мы можем заключить, что $b \parallel \alpha$.

Таким образом, утверждение полностью доказано.

Ответ: Доказано, что $b \parallel \alpha$.