Номер 138, страница 47 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

138. Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен φ. а) Найдите наклонную и её проекцию на данную плоскость, если перпендикуляр равен d. б) Найдите перпендикуляр и проекцию наклонной, если наклонная равна m.

Пусть из точки, не лежащей в плоскости, к этой плоскости проведены перпендикуляр, наклонная и проекция наклонной. Эти три отрезка образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:
- наклонная является гипотенузой;
- перпендикуляр и проекция являются катетами.

По условию, угол между перпендикуляром и наклонной равен $\phi$. В образовавшемся прямоугольном треугольнике этот угол находится между гипотенузой (наклонной) и одним из катетов (перпендикуляром). Следовательно, перпендикуляр является прилежащим катетом к углу $\phi$, а проекция — противолежащим катетом.

По условию, длина перпендикуляра равна $d$. Это прилежащий катет в нашем прямоугольном треугольнике. Нам нужно найти наклонную (гипотенузу) и проекцию (противолежащий катет).

1. Для нахождения наклонной (гипотенузы) используем косинус угла $\phi$:
$ \cos \phi = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{d}{\text{наклонная}} $
Из этого соотношения выражаем длину наклонной:
Наклонная = $ \frac{d}{\cos \phi} $

2. Для нахождения проекции (противолежащего катета) используем тангенс угла $\phi$:
$ \tan \phi = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{\text{проекция}}{d} $
Из этого соотношения выражаем длину проекции:
Проекция = $ d \cdot \tan \phi $

Ответ: наклонная равна $ \frac{d}{\cos \phi} $, а её проекция на данную плоскость равна $ d \tan \phi $.

По условию, длина наклонной равна $m$. Это гипотенуза в нашем прямоугольном треугольнике. Нам нужно найти перпендикуляр (прилежащий катет) и проекцию (противолежащий катет).

1. Для нахождения перпендикуляра (прилежащего катета) используем косинус угла $\phi$:
$ \cos \phi = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{\text{перпендикуляр}}{m} $
Из этого соотношения выражаем длину перпендикуляра:
Перпендикуляр = $ m \cdot \cos \phi $

2. Для нахождения проекции (противолежащего катета) используем синус угла $\phi$:
$ \sin \phi = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{\text{проекция}}{m} $
Из этого соотношения выражаем длину проекции:
Проекция = $ m \cdot \sin \phi $

Ответ: перпендикуляр равен $ m \cos \phi $, а проекция наклонной равна $ m \sin \phi $.