Номер 140, страница 47 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

140. Из точки А, не принадлежащей плоскости α, проведены к этой плоскости перпендикуляр АО и две равные наклонные АВ и АС. Известно, что ∠OAB = ∠BAC = 60°, АО = 1,5 см. Найдите расстояние между основаниями наклонных.

По условию задачи, $AO$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, а $AB$ и $AC$ — наклонные. Это означает, что отрезок $AO$ перпендикулярен любому отрезку, лежащему в плоскости $\alpha$ и проходящему через точку $O$. Следовательно, треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle AOC$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $O$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOB$. Нам известны длина катета $AO = 1,5$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle OAB = 60^\circ$. Мы можем найти длину гипотенузы $AB$, которая является одной из наклонных.

Используем определение косинуса угла в прямоугольном треугольнике: $cos(\angle OAB) = \frac{AO}{AB}$

Отсюда выразим $AB$: $AB = \frac{AO}{cos(\angle OAB)} = \frac{1,5}{cos(60^\circ)}$

Так как $cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем: $AB = \frac{1,5}{1/2} = 1,5 \cdot 2 = 3$ см.

По условию, наклонные $AB$ и $AC$ равны, следовательно, $AB = AC = 3$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Мы знаем длины двух его сторон ($AB = 3$ см, $AC = 3$ см) и угол между ними ($\angle BAC = 60^\circ$). Требуется найти расстояние между основаниями наклонных, то есть длину стороны $BC$.

Поскольку в треугольнике $\triangle ABC$ две стороны равны ($AB=AC$), он является равнобедренным. Угол при вершине этого равнобедренного треугольника равен $60^\circ$. Треугольник, у которого есть угол $60^\circ$ между двумя равными сторонами, является равносторонним. Это следует из того, что углы при основании также равны, и каждый из них составляет $(180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ$.

Так как $\triangle ABC$ — равносторонний, все его стороны равны: $BC = AB = AC = 3$ см.

В качестве альтернативы можно было использовать теорему косинусов для треугольника $\triangle ABC$: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot cos(\angle BAC)$ $BC^2 = 3^2 + 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot cos(60^\circ)$ $BC^2 = 9 + 9 - 18 \cdot \frac{1}{2}$ $BC^2 = 18 - 9 = 9$ $BC = \sqrt{9} = 3$ см.

Таким образом, расстояние между основаниями наклонных равно 3 см.

Ответ: 3 см.