Страница 47 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

138. Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен φ. а) Найдите наклонную и её проекцию на данную плоскость, если перпендикуляр равен d. б) Найдите перпендикуляр и проекцию наклонной, если наклонная равна m.

Пусть из точки, не лежащей в плоскости, к этой плоскости проведены перпендикуляр, наклонная и проекция наклонной. Эти три отрезка образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:
- наклонная является гипотенузой;
- перпендикуляр и проекция являются катетами.

По условию, угол между перпендикуляром и наклонной равен $\phi$. В образовавшемся прямоугольном треугольнике этот угол находится между гипотенузой (наклонной) и одним из катетов (перпендикуляром). Следовательно, перпендикуляр является прилежащим катетом к углу $\phi$, а проекция — противолежащим катетом.

По условию, длина перпендикуляра равна $d$. Это прилежащий катет в нашем прямоугольном треугольнике. Нам нужно найти наклонную (гипотенузу) и проекцию (противолежащий катет).

1. Для нахождения наклонной (гипотенузы) используем косинус угла $\phi$:
$ \cos \phi = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{d}{\text{наклонная}} $
Из этого соотношения выражаем длину наклонной:
Наклонная = $ \frac{d}{\cos \phi} $

2. Для нахождения проекции (противолежащего катета) используем тангенс угла $\phi$:
$ \tan \phi = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{\text{проекция}}{d} $
Из этого соотношения выражаем длину проекции:
Проекция = $ d \cdot \tan \phi $

Ответ: наклонная равна $ \frac{d}{\cos \phi} $, а её проекция на данную плоскость равна $ d \tan \phi $.

По условию, длина наклонной равна $m$. Это гипотенуза в нашем прямоугольном треугольнике. Нам нужно найти перпендикуляр (прилежащий катет) и проекцию (противолежащий катет).

1. Для нахождения перпендикуляра (прилежащего катета) используем косинус угла $\phi$:
$ \cos \phi = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{\text{перпендикуляр}}{m} $
Из этого соотношения выражаем длину перпендикуляра:
Перпендикуляр = $ m \cdot \cos \phi $

2. Для нахождения проекции (противолежащего катета) используем синус угла $\phi$:
$ \sin \phi = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{\text{проекция}}{m} $
Из этого соотношения выражаем длину проекции:
Проекция = $ m \cdot \sin \phi $

Ответ: перпендикуляр равен $ m \cos \phi $, а проекция наклонной равна $ m \sin \phi $.

139. Из некоторой точки проведены к плоскости две наклонные. Докажите, что: а) если наклонные равны, то равны и их проекции; б) если проекции наклонных равны, то равны и наклонные; в) если наклонные не равны, то большая наклонная имеет большую проекцию.

Для доказательства всех утверждений введём общие обозначения. Пусть из точки A, не принадлежащей плоскости ?, проведены к этой плоскости две наклонные AB и AC. Опустим из точки A перпендикуляр AO на плоскость ?. Длина этого перпендикуляра, отрезок AO, является расстоянием от точки до плоскости. Отрезки OB и OC являются ортогональными проекциями наклонных AB и AC на плоскость ? соответственно.

Таким образом, образуются два прямоугольных треугольника, ?AOB и ?AOC, в которых катет AO является общим. Применим к этим треугольникам теорему Пифагора:
$|AB|^2 = |AO|^2 + |OB|^2$
$|AC|^2 = |AO|^2 + |OC|^2$

Используя эти фундаментальные соотношения, докажем последовательно каждое утверждение.

а)

Нужно доказать, что если наклонные равны ($|AB| = |AC|$), то равны и их проекции ($|OB| = |OC|$).

Из условия равенства наклонных $|AB| = |AC|$ следует, что равны и их квадраты: $|AB|^2 = |AC|^2$. Подставим в это равенство выражения, полученные из теоремы Пифагора:
$|AO|^2 + |OB|^2 = |AO|^2 + |OC|^2$

Вычтем из обеих частей равенства общий член $|AO|^2$, что не нарушит равенства:
$|OB|^2 = |OC|^2$

Поскольку длины отрезков (проекций) являются неотрицательными величинами, из равенства их квадратов следует и равенство самих длин:
$|OB| = |OC|$
Утверждение доказано.

Ответ: если наклонные равны, то равны и их проекции.

б)

Нужно доказать, что если проекции наклонных равны ($|OB| = |OC|$), то равны и сами наклонные ($|AB| = |AC|$). Это утверждение является обратным к предыдущему.

Из условия равенства проекций $|OB| = |OC|$ следует равенство их квадратов: $|OB|^2 = |OC|^2$.

Прибавим к обеим частям этого равенства квадрат длины общего перпендикуляра $|AO|^2$:
$|AO|^2 + |OB|^2 = |AO|^2 + |OC|^2$

Согласно теореме Пифагора, левая часть этого выражения равна $|AB|^2$, а правая — $|AC|^2$. Таким образом, мы получаем:
$|AB|^2 = |AC|^2$

Так как длины наклонных — это неотрицательные числа, то из равенства их квадратов следует равенство и самих длин:
$|AB| = |AC|$
Утверждение доказано.

Ответ: если проекции наклонных равны, то равны и наклонные.

в)

Нужно доказать, что если наклонные не равны, то большая наклонная имеет большую проекцию. Для определённости, пусть наклонная AB больше наклонной AC, то есть $|AB| > |AC|$.

Из теоремы Пифагора выразим квадраты длин проекций:
$|OB|^2 = |AB|^2 - |AO|^2$
$|OC|^2 = |AC|^2 - |AO|^2$

По условию $|AB| > |AC|$. Поскольку длины отрезков — положительные числа, то и их квадраты находятся в том же соотношении: $|AB|^2 > |AC|^2$.

Вычтем из обеих частей этого неравенства одну и ту же величину $|AO|^2$. Знак неравенства при этом не изменится:
$|AB|^2 - |AO|^2 > |AC|^2 - |AO|^2$

Заменяя разности их эквивалентами, получаем:
$|OB|^2 > |OC|^2$

Так как длины проекций являются неотрицательными, то из неравенства для их квадратов следует такое же неравенство и для самих длин:
$|OB| > |OC|$
Таким образом, большей наклонной действительно соответствует большая проекция. Утверждение доказано.

Ответ: если наклонные не равны, то большая наклонная имеет большую проекцию.

140. Из точки А, не принадлежащей плоскости α, проведены к этой плоскости перпендикуляр АО и две равные наклонные АВ и АС. Известно, что ∠OAB = ∠BAC = 60°, АО = 1,5 см. Найдите расстояние между основаниями наклонных.

По условию задачи, $AO$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, а $AB$ и $AC$ — наклонные. Это означает, что отрезок $AO$ перпендикулярен любому отрезку, лежащему в плоскости $\alpha$ и проходящему через точку $O$. Следовательно, треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle AOC$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $O$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOB$. Нам известны длина катета $AO = 1,5$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle OAB = 60^\circ$. Мы можем найти длину гипотенузы $AB$, которая является одной из наклонных.

Используем определение косинуса угла в прямоугольном треугольнике: $cos(\angle OAB) = \frac{AO}{AB}$

Отсюда выразим $AB$: $AB = \frac{AO}{cos(\angle OAB)} = \frac{1,5}{cos(60^\circ)}$

Так как $cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем: $AB = \frac{1,5}{1/2} = 1,5 \cdot 2 = 3$ см.

По условию, наклонные $AB$ и $AC$ равны, следовательно, $AB = AC = 3$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Мы знаем длины двух его сторон ($AB = 3$ см, $AC = 3$ см) и угол между ними ($\angle BAC = 60^\circ$). Требуется найти расстояние между основаниями наклонных, то есть длину стороны $BC$.

Поскольку в треугольнике $\triangle ABC$ две стороны равны ($AB=AC$), он является равнобедренным. Угол при вершине этого равнобедренного треугольника равен $60^\circ$. Треугольник, у которого есть угол $60^\circ$ между двумя равными сторонами, является равносторонним. Это следует из того, что углы при основании также равны, и каждый из них составляет $(180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ$.

Так как $\triangle ABC$ — равносторонний, все его стороны равны: $BC = AB = AC = 3$ см.

В качестве альтернативы можно было использовать теорему косинусов для треугольника $\triangle ABC$: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot cos(\angle BAC)$ $BC^2 = 3^2 + 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot cos(60^\circ)$ $BC^2 = 9 + 9 - 18 \cdot \frac{1}{2}$ $BC^2 = 18 - 9 = 9$ $BC = \sqrt{9} = 3$ см.

Таким образом, расстояние между основаниями наклонных равно 3 см.

Ответ: 3 см.

141. Один конец данного отрезка лежит в плоскости α, а другой находится от неё на расстоянии 6 см. Найдите расстояние от середины данного отрезка до плоскости α.

Пусть данный отрезок — это $AB$. Пусть один его конец, точка $A$, лежит в плоскости $\alpha$, а другой конец, точка $B$, находится на некотором расстоянии от этой плоскости. Пусть $M$ — середина отрезка $AB$.

Расстояние от точки до плоскости определяется как длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Согласно условию задачи:

1. Расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$ равно 0, так как точка $A$ лежит в этой плоскости.

2. Расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$ равно 6 см.

Требуется найти расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$.

Опустим перпендикуляры из точек $B$ и $M$ на плоскость $\alpha$. Пусть $B'$ и $M'$ — основания этих перпендикуляров. Точка $A$ уже лежит в плоскости, поэтому ее проекция совпадает с ней самой ($A' = A$).

Таким образом, мы имеем:

• Длина перпендикуляра $AA'$ равна 0 см.
• Длина перпендикуляра $BB'$ равна 6 см.
• Длина перпендикуляра $MM'$ — искомое расстояние.

Так как перпендикуляры $AA'$, $BB'$ и $MM'$ к одной и той же плоскости $\alpha$ параллельны между собой, точки $A$, $B$, $B'$, $A'$ образуют прямоугольную трапецию (в данном случае, так как $AA'=0$, она вырождается в прямоугольный треугольник $ABB'$).

Поскольку $M$ является серединой отрезка $AB$, а $MM'$ параллелен основаниям трапеции $AA'$ и $BB'$, то $MM'$ является средней линией этой трапеции.

Длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований.

Расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$ (длина $MM'$) вычисляется по формуле:

$MM' = \frac{AA' + BB'}{2}$

Подставим известные значения:

$MM' = \frac{0 + 6}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Ответ: 3 см.

142. Концы отрезка отстоят от плоскости α на расстояниях 1 см и 4 см. Найдите расстояние от середины отрезка до плоскости α.

Поскольку в условии задачи не указано, пересекает ли отрезок плоскость ?, существует два возможных случая и, соответственно, два возможных ответа.

Случай 1: Отрезок не пересекает плоскость ?

В этом случае оба конца отрезка (назовем их A и B) находятся по одну сторону от плоскости ?. Опустим из точек A и B перпендикуляры $AA'$ и $BB'$ на плоскость ?. Согласно условию, их длины равны $d_1 = AA' = 1$ см и $d_2 = BB' = 4$ см.

Фигура $AA'B'B$ представляет собой трапецию, у которой основания $AA'$ и $BB'$ параллельны друг другу (так как оба перпендикулярны плоскости ?). Пусть M — середина отрезка AB, а M' — ее проекция на плоскость ?. Отрезок $MM'$ является средней линией этой трапеции.

Длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований. Таким образом, искомое расстояние $d_M$ от середины отрезка до плоскости вычисляется по формуле:

$d_M = \frac{d_1 + d_2}{2}$

Подставим заданные значения:

$d_M = \frac{1 + 4}{2} = \frac{5}{2} = 2,5$ см.

Ответ: 2,5 см.

Случай 2: Отрезок пересекает плоскость ?

В этом случае концы отрезка A и B находятся по разные стороны от плоскости ?. Для решения удобно использовать метод координат. Пусть плоскость ? совпадает с координатной плоскостью $Oxy$ (то есть, ее уравнение $z=0$). Тогда расстояние от любой точки с координатами $(x, y, z)$ до плоскости ? будет равно $|z|$.

Пусть концы отрезка имеют координаты $A(x_A, y_A, z_A)$ и $B(x_B, y_B, z_B)$. Расстояния от них до плоскости равны $|z_A| = 1$ см и $|z_B| = 4$ см.

Поскольку точки A и B лежат по разные стороны от плоскости $z=0$, их z-координаты имеют противоположные знаки. Мы можем принять, что $z_A = 1$ см, а $z_B = -4$ см (выбор знаков не повлияет на конечный результат).

Пусть M — середина отрезка AB. Координаты середины отрезка вычисляются как полусумма соответствующих координат его концов. Z-координата точки M равна:

$z_M = \frac{z_A + z_B}{2}$

Подставим значения $z_A$ и $z_B$:

$z_M = \frac{1 + (-4)}{2} = \frac{-3}{2} = -1,5$ см.

Искомое расстояние $d_M$ от точки M до плоскости ? равно модулю ее z-координаты:

$d_M = |z_M| = |-1,5| = 1,5$ см.

Таким образом, если отрезок пересекает плоскость, расстояние от его середины до плоскости равно полуразности данных расстояний.

Ответ: 1,5 см.

143. Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника ABC равно 4 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости ABC, если АВ = 6 см.

Пусть O — проекция точки M на плоскость правильного треугольника ABC. Тогда искомое расстояние от точки M до плоскости ABC есть длина перпендикуляра MO.

Так как точка M равноудалена от вершин треугольника ABC, то отрезки MA, MB и MC равны: $MA = MB = MC = 4$ см. Эти отрезки являются наклонными к плоскости ABC, а отрезки OA, OB и OC — их проекциями на эту плоскость. Поскольку наклонные равны, то равны и их проекции: $OA = OB = OC$.

Это означает, что точка O является центром окружности, описанной около треугольника ABC. Радиус этой окружности R равен расстоянию от центра до любой из вершин, то есть $R = OA$. Для правильного треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности вычисляется по формуле: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

По условию, сторона треугольника $AB = a = 6$ см. Подставим это значение в формулу: $R = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см. Таким образом, $OA = 2\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ?MOA (угол $\angle MOA = 90^\circ$). Катет MO — это искомое расстояние, катет OA — радиус описанной окружности, а гипотенуза MA — расстояние от точки M до вершины A. По теореме Пифагора: $MA^2 = MO^2 + OA^2$

Выразим из этой формулы $MO^2$: $MO^2 = MA^2 - OA^2$

Подставим известные значения $MA = 4$ см и $OA = 2\sqrt{3}$ см: $MO^2 = 4^2 - (2\sqrt{3})^2 = 16 - (4 \cdot 3) = 16 - 12 = 4$

Отсюда находим длину MO: $MO = \sqrt{4} = 2$ см.

Ответ: 2 см.

144. Прямая а параллельна плоскости α. Докажите, что все точки прямой а равноудалены от плоскости α.

Решение

Через какую-нибудь точку прямой а проведём плоскость β, параллельную плоскости α (задача 59). Прямая а лежит в плоскости β, так как в противном случае она пересекала бы плоскость β, а значит, пересекала бы и плоскость α (задача 55), что невозможно. Все точки плоскости β равноудалены от плоскости α, поэтому и все точки прямой а, лежащей в плоскости β, равноудалены от плоскости α, что и требовалось доказать.

Для доказательства этого утверждения мы воспользуемся методом, основанным на свойствах параллельных плоскостей.

Дано:
Прямая $a$ и плоскость $\alpha$.
Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, что записывается как $a \parallel \alpha$.

Доказать:
Все точки прямой $a$ равноудалены от плоскости $\alpha$.

Доказательство:

1. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Нам необходимо доказать, что для любых двух точек $M_1 \in a$ и $M_2 \in a$ их расстояния до плоскости $\alpha$ равны.

2. Выберем на прямой $a$ произвольную точку $M$. Через точку, не лежащую на плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну. Построим через точку $M$ плоскость $\beta$ так, чтобы она была параллельна плоскости $\alpha$. Таким образом, мы имеем $M \in \beta$ и $\beta \parallel \alpha$.

3. Теперь докажем, что вся прямая $a$ лежит в построенной плоскости $\beta$. Для этого воспользуемся методом от противного. Предположим, что прямая $a$ не лежит в плоскости $\beta$. Поскольку прямая $a$ и плоскость $\beta$ имеют общую точку $M$, это означает, что прямая $a$ пересекает плоскость $\beta$ в точке $M$.

4. Согласно свойству параллельных плоскостей, если некоторая прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и вторую. В нашем случае, если бы прямая $a$ пересекала плоскость $\beta$, то она обязана была бы пересечь и параллельную ей плоскость $\alpha$.

5. Однако это напрямую противоречит начальному условию задачи, где сказано, что $a \parallel \alpha$ (прямая и плоскость параллельны, то есть не имеют общих точек). Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что прямая $a$ не лежит в плоскости $\beta$, было неверным. Значит, прямая $a$ целиком принадлежит плоскости $\beta$, что записывается как $a \subset \beta$.

6. Расстояние между двумя параллельными плоскостями является постоянной величиной. Это означает, что каждая точка одной плоскости (в нашем случае $\beta$) находится на одном и том же расстоянии от другой плоскости ($\alpha$).

7. Поскольку мы доказали, что вся прямая $a$ лежит в плоскости $\beta$, то каждая точка прямой $a$ одновременно является и точкой плоскости $\beta$. Из этого следует, что все точки прямой $a$ равноудалены от плоскости $\alpha$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Все точки прямой, которая параллельна некоторой плоскости, находятся на одинаковом расстоянии от этой плоскости.