Страница 50 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

164. Под углом φ к плоскости α проведена наклонная. Найдите φ, если известно, что проекция наклонной вдвое меньше самой наклонной.

Пусть длина наклонной, проведенной к плоскости $\alpha$, равна $L$, а длина ее проекции на эту плоскость равна $P$. Угол между наклонной и плоскостью равен $\phi$.

По условию задачи, проекция наклонной вдвое меньше самой наклонной. Математически это можно записать так:

$P = \frac{L}{2}$

По определению, угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Наклонная, ее проекция и перпендикуляр, опущенный из конца наклонной на плоскость, образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

• нактонная $L$ является гипотенузой;
• проекция $P$ является катетом, прилежащим к углу $\phi$.

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению длины прилежащего катета к длине гипотенузы. Для нашего случая это выглядит так:

$\cos \phi = \frac{P}{L}$

Теперь подставим в эту формулу соотношение из условия задачи ($P = \frac{L}{2}$):

$\cos \phi = \frac{\frac{L}{2}}{L} = \frac{L}{2L} = \frac{1}{2}$

Нам нужно найти угол $\phi$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$. Из тригонометрии известно, что таким углом (в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$) является угол $60^\circ$.

Ответ: $\phi = 60^\circ$.

165. Из точки А, удалённой от плоскости γ на расстояние d, проведены к этой плоскости наклонные АВ и АС под углом 30° к плоскости. Их проекции на плоскость γ образуют угол в 120°. Найдите ВС.

Пусть $H$ — это проекция точки $A$ на плоскость $\gamma$. Тогда отрезок $AH$ является перпендикуляром к плоскости $\gamma$, и его длина равна заданному расстоянию от точки $A$ до плоскости, то есть $AH = d$.

Отрезки $HB$ и $HC$ являются проекциями наклонных $AB$ и $AC$ на плоскость $\gamma$.

Угол между наклонной и плоскостью определяется как угол между самой наклонной и её проекцией на эту плоскость. По условию задачи, наклонные $AB$ и $AC$ проведены под углом $30^\circ$ к плоскости $\gamma$. Следовательно, $\angle ABH = 30^\circ$ и $\angle ACH = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHB$ (угол $\angle AHB = 90^\circ$, так как $AH$ — перпендикуляр к плоскости). В этом треугольнике нам известен катет $AH=d$ и прилежащий к другому катету угол $\angle ABH = 30^\circ$. Найдем длину проекции $HB$:

Из соотношения сторон в прямоугольном треугольнике имеем: $\text{tg}(\angle ABH) = \frac{AH}{HB}$, откуда $HB = \frac{AH}{\text{tg}(\angle ABH)}$.

$HB = \frac{d}{\text{tg}(30^\circ)} = \frac{d}{1/\sqrt{3}} = d\sqrt{3}$.

Аналогично для прямоугольного треугольника $\triangle AHC$ находим длину проекции $HC$: $HC = \frac{AH}{\text{tg}(\angle ACH)} = \frac{d}{\text{tg}(30^\circ)} = d\sqrt{3}$.

Итак, мы имеем треугольник $\triangle BHC$, лежащий в плоскости $\gamma$, у которого известны длины двух сторон $HB = d\sqrt{3}$, $HC = d\sqrt{3}$ и угол между ними, который по условию составляет $\angle BHC = 120^\circ$.

Для нахождения длины третьей стороны $BC$ воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $\triangle BHC$: $BC^2 = HB^2 + HC^2 - 2 \cdot HB \cdot HC \cdot \cos(\angle BHC)$.

Подставим известные значения в формулу: $BC^2 = (d\sqrt{3})^2 + (d\sqrt{3})^2 - 2 \cdot (d\sqrt{3}) \cdot (d\sqrt{3}) \cdot \cos(120^\circ)$.

Произведем вычисления, учитывая, что $\cos(120^\circ) = -0.5 = -1/2$: $BC^2 = 3d^2 + 3d^2 - 2 \cdot 3d^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$ $BC^2 = 6d^2 + 3d^2$ $BC^2 = 9d^2$.

Извлекая квадратный корень, находим длину искомого отрезка $BC$: $BC = \sqrt{9d^2} = 3d$.

Ответ: $3d$.