Номер 142, страница 47 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

142. Концы отрезка отстоят от плоскости α на расстояниях 1 см и 4 см. Найдите расстояние от середины отрезка до плоскости α.

Поскольку в условии задачи не указано, пересекает ли отрезок плоскость ?, существует два возможных случая и, соответственно, два возможных ответа.

Случай 1: Отрезок не пересекает плоскость ?

В этом случае оба конца отрезка (назовем их A и B) находятся по одну сторону от плоскости ?. Опустим из точек A и B перпендикуляры $AA'$ и $BB'$ на плоскость ?. Согласно условию, их длины равны $d_1 = AA' = 1$ см и $d_2 = BB' = 4$ см.

Фигура $AA'B'B$ представляет собой трапецию, у которой основания $AA'$ и $BB'$ параллельны друг другу (так как оба перпендикулярны плоскости ?). Пусть M — середина отрезка AB, а M' — ее проекция на плоскость ?. Отрезок $MM'$ является средней линией этой трапеции.

Длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований. Таким образом, искомое расстояние $d_M$ от середины отрезка до плоскости вычисляется по формуле:

$d_M = \frac{d_1 + d_2}{2}$

Подставим заданные значения:

$d_M = \frac{1 + 4}{2} = \frac{5}{2} = 2,5$ см.

Ответ: 2,5 см.

Случай 2: Отрезок пересекает плоскость ?

В этом случае концы отрезка A и B находятся по разные стороны от плоскости ?. Для решения удобно использовать метод координат. Пусть плоскость ? совпадает с координатной плоскостью $Oxy$ (то есть, ее уравнение $z=0$). Тогда расстояние от любой точки с координатами $(x, y, z)$ до плоскости ? будет равно $|z|$.

Пусть концы отрезка имеют координаты $A(x_A, y_A, z_A)$ и $B(x_B, y_B, z_B)$. Расстояния от них до плоскости равны $|z_A| = 1$ см и $|z_B| = 4$ см.

Поскольку точки A и B лежат по разные стороны от плоскости $z=0$, их z-координаты имеют противоположные знаки. Мы можем принять, что $z_A = 1$ см, а $z_B = -4$ см (выбор знаков не повлияет на конечный результат).

Пусть M — середина отрезка AB. Координаты середины отрезка вычисляются как полусумма соответствующих координат его концов. Z-координата точки M равна:

$z_M = \frac{z_A + z_B}{2}$

Подставим значения $z_A$ и $z_B$:

$z_M = \frac{1 + (-4)}{2} = \frac{-3}{2} = -1,5$ см.

Искомое расстояние $d_M$ от точки M до плоскости ? равно модулю ее z-координаты:

$d_M = |z_M| = |-1,5| = 1,5$ см.

Таким образом, если отрезок пересекает плоскость, расстояние от его середины до плоскости равно полуразности данных расстояний.

Ответ: 1,5 см.