Номер 146, страница 48 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

146. Прямая а пересекает плоскость α в точке М и не перпендикулярна к этой плоскости. Докажите, что в плоскости α через точку М проходит прямая, перпендикулярная к прямой а, и притом только одна.

Доказательство данного утверждения состоит из двух частей: доказательства существования такой прямой и доказательства ее единственности.

Доказательство существования
Пусть прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $M$ и не перпендикулярна ей. Это означает, что прямая $a$ является наклонной к плоскости $\alpha$.
1. Построим проекцию прямой $a$ на плоскость $\alpha$. Для этого из произвольной точки $A$ на прямой $a$ (отличной от $M$) опустим перпендикуляр $AH$ на плоскость $\alpha$. Прямая, проходящая через точки $M$ и $H$, является проекцией прямой $a$ на плоскость $\alpha$. Обозначим эту проекцию как $a'$. Так как по условию прямая $a$ не перпендикулярна плоскости $\alpha$, точки $A$, $H$ и $M$ не лежат на одной прямой, следовательно, $a'$ — это единственная прямая. Обе прямые, $a$ и $a'$, лежат в одной плоскости $\beta$, определенной точками $A$, $H$ и $M$.
2. В плоскости $\alpha$ через точку $M$, принадлежащую прямой $a'$, проведем прямую $b$, перпендикулярную прямой $a'$. Согласно аксиоме планиметрии, такая прямая существует и единственна в плоскости $\alpha$.
3. Теперь у нас есть: наклонная $a$, ее проекция $a'$ на плоскость $\alpha$, и прямая $b$, лежащая в плоскости $\alpha$, проходящая через основание наклонной (точку $M$) и перпендикулярная ее проекции ($b \perp a'$).
По теореме о трех перпендикулярах, если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной. Следовательно, прямая $b$ перпендикулярна прямой $a$ ($b \perp a$).
Таким образом, мы доказали существование прямой $b$ в плоскости $\alpha$, проходящей через точку $M$ и перпендикулярной прямой $a$.
Ответ: Доказано, что в плоскости $\alpha$ через точку М проходит прямая, перпендикулярная прямой $a$.

Доказательство единственности
Докажем, что такая прямая только одна. Предположим, что в плоскости $\alpha$ существует другая прямая $c$, проходящая через точку $M$, перпендикулярная прямой $a$, и при этом $c \ne b$.
1. Итак, у нас есть прямая $c$, такая что $c \subset \alpha$, $M \in c$ и $c \perp a$.
2. Рассмотрим наклонную $a$ и ее проекцию $a'$ на плоскость $\alpha$.
3. Воспользуемся обратной теоремой о трех перпендикулярах: если прямая на плоскости, проходящая через основание наклонной, перпендикулярна самой наклонной, то она перпендикулярна и ее проекции.
Так как прямая $c$ лежит в плоскости $\alpha$, проходит через основание наклонной $a$ (точку $M$) и по нашему предположению перпендикулярна ей ($c \perp a$), то по этой теореме она должна быть перпендикулярна и проекции $a'$. То есть, $c \perp a'$.
4. Таким образом, мы имеем две различные прямые $b$ и $c$, лежащие в плоскости $\alpha$, проходящие через одну и ту же точку $M$ и обе перпендикулярные одной и той же прямой $a'$.
5. Но из курса планиметрии известно, что в плоскости через данную точку к данной прямой можно провести только одну перпендикулярную прямую. Это противоречит нашему предположению о существовании двух различных прямых $b$ и $c$.
Следовательно, наше предположение неверно, и прямая, удовлетворяющая условиям задачи, может быть только одна.
Ответ: Доказано, что такая прямая только одна.