Номер 151, страница 48 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

151. Прямая CD перпендикулярна к плоскости треугольника ABC. Докажите, что: а) треугольник ABC является проекцией треугольника ABD на плоскость ABC; б) если СН — высота треугольника ABC, то DH — высота треугольника ABD.

а)

Чтобы доказать, что треугольник $ABC$ является проекцией треугольника $ABD$ на плоскость $ABC$, нужно найти ортогональные проекции вершин треугольника $ABD$ на эту плоскость.

1. Проекция точки на плоскость, если точка принадлежит этой плоскости, является сама точка. Поскольку вершины $A$ и $B$ треугольника $ABD$ по условию лежат в плоскости $ABC$, их проекциями на эту плоскость являются сами точки $A$ и $B$.

2. По условию, прямая $CD$ перпендикулярна плоскости треугольника $ABC$. Это означает, что отрезок $CD$ является перпендикуляром, опущенным из точки $D$ на плоскость $ABC$. По определению ортогональной проекции, основание этого перпендикуляра, точка $C$, является проекцией точки $D$ на плоскость $ABC$.

Таким образом, проекциями вершин $A$, $B$ и $D$ являются соответственно точки $A$, $B$ и $C$. Соединив эти точки, мы получаем треугольник $ABC$. Следовательно, треугольник $ABC$ является проекцией треугольника $ABD$ на плоскость $ABC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что треугольник $ABC$ является проекцией треугольника $ABD$ на плоскость $ABC$.

б)

По условию задачи, прямая $CD$ перпендикулярна плоскости $ABC$, что можно записать как $CD \perp (ABC)$. Также дано, что $CH$ — высота треугольника $ABC$, а это значит, что $CH \perp AB$. Нам необходимо доказать, что $DH$ является высотой треугольника $ABD$, то есть что $DH \perp AB$.

Для доказательства воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах. Рассмотрим следующие элементы в пространстве:
- $CD$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$.
- $DH$ — наклонная, проведенная из точки $D$ к плоскости $(ABC)$.
- $CH$ — проекция наклонной $DH$ на плоскость $(ABC)$ (поскольку $C$ — проекция $D$, а $H$ — проекция $H$).
- $AB$ — прямая, лежащая в плоскости $(ABC)$ и проходящая через основание наклонной $H$.

Теорема о трех перпендикулярах гласит: если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость, то она перпендикулярна и самой наклонной.

В нашем случае прямая $AB$ перпендикулярна проекции $CH$ (по условию $CH$ — высота, т.е. $CH \perp AB$). Следовательно, согласно теореме о трех перпендикулярах, прямая $AB$ перпендикулярна и самой наклонной $DH$.

Поскольку $DH \perp AB$, то по определению высоты треугольника, отрезок $DH$ является высотой треугольника $ABD$.

Ответ: Доказано, что если $CH$ — высота треугольника $ABC$, то $DH$ — высота треугольника $ABD$.