Номер 156, страница 49 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

156. Один из катетов прямоугольного треугольника ABC равен m, а острый угол, прилежащий к этому катету, равен φ. Через вершину прямого угла С проведена прямая CD, перпендикулярная к плоскости этого треугольника, CD = n. Найдите расстояние от точки D до прямой АВ.

Пусть в прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ угол $\angle C = 90^\circ$. Без ограничения общности, пусть катет $AC = m$, а прилежащий к нему острый угол $\angle A = \phi$. По условию, из вершины $C$ проведена прямая $CD$ перпендикулярно плоскости треугольника $ABC$, и ее длина $CD = n$.

Требуется найти расстояние от точки $D$ до прямой $AB$. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на прямую $AB$. Обозначим основание этого перпендикуляра как точку $H$, таким образом, искомое расстояние — это длина отрезка $DH$, где $DH \perp AB$.

Рассмотрим отрезок $CH$. Отрезок $CD$ является перпендикуляром к плоскости $(ABC)$, $DH$ — наклонная к этой плоскости, а $CH$ — проекция этой наклонной на плоскость $(ABC)$.

Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($DH$) перпендикулярна некоторой прямой в плоскости ($AB$), то и ее проекция ($CH$) также перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $CH \perp AB$.

Таким образом, $CH$ является высотой прямоугольного треугольника $ABC$, проведенной из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$.

Найдем длину этой высоты $CH$. В прямоугольном треугольнике $\triangle ACH$ (где $\angle CHA = 90^\circ$), мы знаем гипотенузу $AC=m$ и угол $\angle A = \phi$. Катет $CH$ можно выразить через синус угла $\phi$:

$CH = AC \cdot \sin(\angle A) = m \cdot \sin(\phi)$

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle DCH$. Поскольку прямая $CD$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $CH$. Значит, $\angle DCH = 90^\circ$, и треугольник $\triangle DCH$ является прямоугольным.

В этом треугольнике мы знаем длины катетов:

• $CD = n$ (по условию)
• $CH = m \sin(\phi)$ (как мы нашли ранее)

Искомое расстояние $DH$ является гипотенузой этого треугольника. По теореме Пифагора:

$DH^2 = CD^2 + CH^2$

Подставим известные значения:

$DH^2 = n^2 + (m \sin(\phi))^2 = n^2 + m^2 \sin^2(\phi)$

Отсюда находим длину $DH$:

$DH = \sqrt{n^2 + m^2 \sin^2(\phi)}$

Ответ: $\sqrt{n^2 + m^2 \sin^2(\phi)}$