номер 162 (страница 49) гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов, Кадомцев

162. Прямая МА проходит через точку А плоскости α и образует с этой плоскостью угол φ₀ ≠ 90°. Докажите, что φ₀ является наименьшим из всех углов, которые прямая МА образует с прямыми, проведёнными в плоскости α через точку А.

Решение

Обозначим буквой Н основание перпендикуляра, проведённого из точки М к плоскости α, и рассмотрим произвольную прямую р в плоскости α, проходящую через точку А и отличную от прямой АН. Угол между прямыми AM и р обозначим через φ (рис. 57) и докажем, что φ > φ₀. Из точки М проведём перпендикуляр MN к прямой р. Если точка N совпадает с точкой А, то φ = 90° и поэтому φ > φ₀. Рассмотрим случай, когда точки А и N не совпадают (см. рис. 57). Отрезок AM — общая гипотенуза прямоугольных треугольников ANM и АНМ, поэтому sin φ = MN AM, sin φ₀ = MH AM. Так как MN > MH (MN — наклонная, MH — перпендикуляр), то из этих равенств следует, что sin φ > sin φ₀, и поэтому φ > φ₀.