Номер 169, страница 57 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

169. Даны два двугранных угла, у которых одна грань общая, а две другие грани являются различными полуплоскостями одной плоскости. Докажите, что сумма этих двугранных углов равна 180°.

Пусть даны два двугранных угла. Обозначим их общую грань (полуплоскость) как $\alpha_1$. Две другие грани, по условию, являются различными полуплоскостями одной плоскости $\beta$. Обозначим эти полуплоскости как $\beta_1$ и $\beta_2$. Прямая пересечения плоскостей, которая является общим ребром для обоих двугранных углов, обозначим как $a$.

Таким образом, мы рассматриваем два двугранных угла:

• Первый двугранный угол образован полуплоскостями $\alpha_1$ и $\beta_1$.
• Второй двугранный угол образован полуплоскостями $\alpha_1$ и $\beta_2$.

Величина двугранного угла измеряется его линейным углом. Чтобы построить линейные углы для данных двугранных углов, выполним следующие действия:

1. На общем ребре $a$ выберем произвольную точку $O$.
2. Проведём через точку $O$ плоскость $\gamma$, перпендикулярную ребру $a$.
3. Эта плоскость пересечёт грани двугранных углов по лучам, исходящим из точки $O$. Углы между этими лучами и будут являться линейными углами наших двугранных углов.

Пусть плоскость $\gamma$ пересекает полуплоскость $\alpha_1$ по лучу $OC$, полуплоскость $\beta_1$ по лучу $OA$ и полуплоскость $\beta_2$ по лучу $OB$. По построению все эти лучи лежат в плоскости $\gamma$ и перпендикулярны прямой $a$ (так как сама плоскость $\gamma$ перпендикулярна $a$).

По определению, линейным углом первого двугранного угла является $\angle AOC$. Обозначим его величину как $\phi_1$.

Линейным углом второго двугранного угла является $\angle BOC$. Обозначим его величину как $\phi_2$.

Теперь рассмотрим расположение лучей $OA$ и $OB$ в плоскости $\gamma$. Лучи $OA$ и $OB$ лежат на прямой, по которой пересекаются плоскости $\beta$ и $\gamma$. Поскольку полуплоскости $\beta_1$ и $\beta_2$ — это две разные полуплоскости плоскости $\beta$ с общей границей $a$, то лучи $OA$ и $OB$, лежащие в этих полуплоскостях, направлены в противоположные стороны от точки $O$. Следовательно, лучи $OA$ и $OB$ являются дополнительными друг другу и образуют развёрнутый угол.

Таким образом, $\angle AOB = 180^\circ$.

Углы $\angle AOC$ и $\angle BOC$ являются смежными, так как у них общая вершина $O$, общая сторона $OC$, а две другие стороны $OA$ и $OB$ образуют прямую. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

$\angle AOC + \angle BOC = \angle AOB$

Подставляя известные величины, получаем:

$\phi_1 + \phi_2 = 180^\circ$

Это доказывает, что сумма двух данных двугранных углов равна $180^\circ$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма данных двугранных углов равна $180^\circ$, что и было доказано путем построения их линейных углов, которые оказались смежными, а сумма смежных углов, как известно, составляет $180^\circ$.