Номер 173, страница 58 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

173. Ребро CD тетраэдра ABCD перпендикулярно к плоскости ABC, AB = ВС = АС = 6, BD = 37. Найдите двугранные углы DACB, DABC, BDCA.

DACB

Двугранный угол DACB — это угол между плоскостями (DAC) и (ABC). Общим ребром этих плоскостей является прямая AC.
По условию задачи, ребро CD тетраэдра перпендикулярно плоскости ABC. Это записывается как $CD \perp (ABC)$.
По определению прямой, перпендикулярной плоскости, прямая CD перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости ABC. В частности, $CD \perp AC$.
Согласно признаку перпендикулярности двух плоскостей, если одна плоскость (DAC) проходит через прямую (CD), перпендикулярную другой плоскости (ABC), то эти плоскости перпендикулярны.
Следовательно, плоскость (DAC) перпендикулярна плоскости (ABC). Угол между перпендикулярными плоскостями равен 90°.

Ответ: $90^\circ$

BDCA

Двугранный угол BDCA — это угол между плоскостями (BDC) и (ADC). Общим ребром этих плоскостей является прямая DC.
Для нахождения величины двугранного угла необходимо найти его линейный угол. Линейный угол образуется двумя лучами, проведенными в гранях двугранного угла перпендикулярно его ребру из одной точки.
Поскольку $CD \perp (ABC)$, то ребро CD перпендикулярно прямым AC и BC, которые лежат в плоскости (ABC). Таким образом, $CD \perp AC$ и $CD \perp BC$.
Следовательно, угол $\angle BCA$ является линейным углом двугранного угла BDCA, так как его стороны AC и BC лежат в гранях (ADC) и (BDC) соответственно и обе перпендикулярны общему ребру DC в точке C.
По условию, треугольник ABC является равносторонним, так как $AB=BC=AC=6$. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Значит, $\angle BCA = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

DABC

Двугранный угол DABC — это угол между плоскостями (DAB) и (CAB). Общим ребром этих плоскостей является прямая AB.
Для нахождения этого угла построим его линейный угол. Сначала найдем длину ребра CD. Так как $CD \perp (ABC)$, треугольник BCD является прямоугольным с прямым углом C. По теореме Пифагора:
$CD^2 = BD^2 - BC^2 = (3\sqrt{7})^2 - 6^2 = 9 \cdot 7 - 36 = 63 - 36 = 27$
$CD = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$.
Рассмотрим грань ABC. Так как $\triangle ABC$ — равносторонний, проведем в нем медиану CM к стороне AB. Эта медиана также является высотой, поэтому $CM \perp AB$. Длина CM равна:
$CM = AC \cdot \sin(60^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$.
Теперь рассмотрим грань DAB. Найдем длины ее сторон DA и DB. $DB = 3\sqrt{7}$ дано по условию. Найдем DA из прямоугольного треугольника ACD ($\angle ACD = 90^\circ$):
$DA^2 = AC^2 + CD^2 = 6^2 + (3\sqrt{3})^2 = 36 + 27 = 63$
$DA = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}$.
Так как $DA=DB$, треугольник DAB является равнобедренным с основанием AB. Проведем в нем медиану DM к основанию AB. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию также является высотой, поэтому $DM \perp AB$.
Таким образом, угол $\angle CMD$ является линейным углом двугранного угла DABC, так как $CM \perp AB$ и $DM \perp AB$.
Найдем длину DM из прямоугольного треугольника DMA (где $AM = AB/2 = 3$):
$DM^2 = DA^2 - AM^2 = (3\sqrt{7})^2 - 3^2 = 63 - 9 = 54$
$DM = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$.
Рассмотрим треугольник CMD. Мы знаем длины всех его сторон: $CD=3\sqrt{3}$, $CM=3\sqrt{3}$, $DM=3\sqrt{6}$.
Применим теорему косинусов для $\triangle CMD$, чтобы найти $\angle CMD$:
$CD^2 = CM^2 + DM^2 - 2 \cdot CM \cdot DM \cdot \cos(\angle CMD)$
$(3\sqrt{3})^2 = (3\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{6})^2 - 2 \cdot (3\sqrt{3}) \cdot (3\sqrt{6}) \cdot \cos(\angle CMD)$
$27 = 27 + 54 - 2 \cdot 9\sqrt{18} \cdot \cos(\angle CMD)$
$0 = 54 - 18 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \cos(\angle CMD)$
$54\sqrt{2} \cdot \cos(\angle CMD) = 54$
$\cos(\angle CMD) = \frac{54}{54\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Следовательно, $\angle CMD = \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$