Номер 179, страница 58 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

179. Плоскости α и β взаимно перпендикулярны. Через некоторую точку плоскости α проведена прямая, перпендикулярная к плоскости β. Докажите, что эта прямая лежит в плоскости α.

Доказательство.

Пусть даны взаимно перпендикулярные плоскости $\alpha$ и $\beta$, то есть $\alpha \perp \beta$. Пусть $c$ — линия их пересечения ($c = \alpha \cap \beta$). По условию, через некоторую точку $A$ плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$) проведена прямая $a$, которая перпендикулярна плоскости $\beta$ ($a \perp \beta$).

Требуется доказать, что прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).

Для доказательства построим в плоскости $\alpha$ вспомогательную прямую $a'$ через точку $A$ перпендикулярно линии пересечения $c$. По построению, прямая $a'$ полностью лежит в плоскости $\alpha$ ($a' \subset \alpha$) и $a' \perp c$.

Согласно свойству взаимно перпендикулярных плоскостей, если прямая, лежащая в одной из плоскостей, перпендикулярна линии их пересечения, то она перпендикулярна и второй плоскости. В нашем случае, так как $a' \subset \alpha$ и $a' \perp c$, а также $\alpha \perp \beta$, то из этого следует, что прямая $a'$ перпендикулярна плоскости $\beta$ ($a' \perp \beta$).

Таким образом, мы имеем две прямые:

• прямая $a$ (из условия), которая проходит через точку $A$ и перпендикулярна плоскости $\beta$.
• прямая $a'$ (построенная нами), которая также проходит через точку $A$ и перпендикулярна плоскости $\beta$.

По теореме о единственности перпендикуляра к плоскости, через любую точку пространства можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной плоскости. Следовательно, прямые $a$ и $a'$ должны совпадать, то есть $a \equiv a'$.

Поскольку прямая $a'$ была построена так, что она лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $a$ с ней совпадает, то и прямая $a$ также лежит в плоскости $\alpha$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Прямая, проведенная через точку плоскости $\alpha$ перпендикулярно к плоскости $\beta$ (при условии, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ взаимно перпендикулярны), лежит в плоскости $\alpha$.