Номер 172, страница 58 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

172. Катет АС прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С лежит в плоскости α, а угол между плоскостями α и ABC равен 60°. Найдите расстояние от точки В до плоскости α, если АС = 5 см, AB = 13 см.

Пусть $BH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $B$ на плоскость $\alpha$. Длина этого перпендикуляра $BH$ и есть искомое расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ ($\angle C = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем длину катета $BC$:
$BC^2 = AB^2 - AC^2$
$BC^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
$BC = \sqrt{144} = 12$ см.

По условию, катет $AC$ лежит в плоскости $\alpha$, следовательно, прямая $AC$ является линией пересечения плоскости треугольника $ABC$ и плоскости $\alpha$. Угол между этими плоскостями является двугранным углом с ребром $AC$.

Величина двугранного угла измеряется его линейным углом. Для построения линейного угла необходимо из точки на ребре ($AC$) провести два перпендикуляра к нему, по одному в каждой плоскости. В плоскости треугольника $ABC$ у нас уже есть перпендикуляр к $AC$ — это катет $BC$, так как $\angle C = 90^\circ$.

Пусть $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на плоскость $\alpha$. Тогда $BH \perp \alpha$, и $CH$ является проекцией наклонной $BC$ на плоскость $\alpha$. По теореме о трех перпендикулярах, так как наклонная $BC$ перпендикулярна прямой $AC$ на плоскости, то и ее проекция $CH$ также перпендикулярна прямой $AC$.

Таким образом, угол $\angle BCH$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $\alpha$. По условию задачи, $\angle BCH = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $BCH$. Так как $BH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $CH$. Следовательно, треугольник $BCH$ является прямоугольным с прямым углом $H$ ($\angle BHC = 90^\circ$).

В прямоугольном треугольнике $BCH$ известна гипотенуза $BC = 12$ см и острый угол $\angle BCH = 60^\circ$. Искомое расстояние — это катет $BH$, противолежащий этому углу. Найдем его, используя определение синуса угла:
$\sin(\angle BCH) = \frac{BH}{BC}$
$BH = BC \cdot \sin(\angle BCH)$
$BH = 12 \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

Ответ: $6\sqrt{3}$ см.