Номер 168, страница 57 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

168. Двугранный угол равен φ. На одной грани этого угла лежит точка, удалённая на расстояние d от плоскости другой грани. Найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла.

Пусть данный двугранный угол образован полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$, которые пересекаются по прямой $l$ (ребро двугранного угла). По условию, величина этого угла равна $\phi$.

На одной из граней, пусть это будет грань $\alpha$, лежит точка $M$. Расстояние от точки $M$ до плоскости другой грани $\beta$ равно $d$. Требуется найти расстояние от точки $M$ до ребра $l$.

Выполним необходимые построения. Опустим из точки $M$ перпендикуляр $MO$ на ребро $l$. Длина этого отрезка $MO$ и есть искомое расстояние. Обозначим его $x$, то есть $MO = x$.

Теперь опустим из точки $M$ перпендикуляр $MH$ на плоскость $\beta$. По условию, длина этого перпендикуляра равна $d$, то есть $MH = d$.

Рассмотрим получившийся треугольник $MOH$. В нем $MO$ — это наклонная к плоскости $\beta$, $MH$ — перпендикуляр к этой плоскости, а $OH$ — проекция наклонной $MO$ на плоскость $\beta$.

По теореме о трех перпендикулярах, поскольку наклонная $MO$ перпендикулярна прямой $l$ (по построению), то и ее проекция $OH$ также перпендикулярна прямой $l$.

Мы получили, что отрезки $MO$ и $OH$ перпендикулярны ребру $l$ в одной точке $O$. При этом $MO$ лежит в грани $\alpha$, а $OH$ — в грани $\beta$. Угол между ними, $\angle MOH$, является линейным углом данного двугранного угла. Следовательно, $\angle MOH = \phi$.

Так как $MH$ — перпендикуляр к плоскости $\beta$, то он перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через его основание $H$. В частности, $MH \perp OH$. Это значит, что треугольник $MOH$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $H$.

В прямоугольном треугольнике $MOH$ катет $MH = d$ является противолежащим углу $\angle MOH = \phi$, а гипотенуза $MO = x$ — это искомое расстояние.

Используя определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике, получаем:
$\sin(\angle MOH) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$
$\sin(\phi) = \frac{MH}{MO} = \frac{d}{x}$

Из этого соотношения выражаем $x$:
$x = \frac{d}{\sin(\phi)}$

Ответ: $\frac{d}{\sin(\phi)}$