Номер 174, страница 58 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

174. Найдите двугранный угол ABCD тетраэдра ABCD, если углы DAB, DAC и АСВ прямые, АС = СВ = 5, DB = 55.

По условию задачи даны углы $\angle DAB = 90^\circ$ и $\angle DAC = 90^\circ$. Это означает, что ребро $DA$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым $AB$ и $AC$ в плоскости $ABC$. Следовательно, ребро $DA$ перпендикулярно всей плоскости основания $ABC$.

Двугранный угол $ABCD$ — это, по наиболее распространённому определению, двугранный угол при ребре $BC$. Он равен линейному углу между плоскостями $(ABC)$ и $(DBC)$. Для нахождения этого угла построим его линейный угол.

Линейный угол двугранного угла — это угол между двумя перпендикулярами, проведенными к ребру двугранного угла в его плоскостях из одной точки.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию $\angle ACB = 90^\circ$. Это означает, что прямая $AC$ перпендикулярна прямой $BC$ ($AC \perp BC$). Прямая $AC$ лежит в плоскости $(ABC)$.

2. Рассмотрим наклонную $DC$ и ее проекцию $AC$ на плоскость $(ABC)$ (поскольку $DA \perp (ABC)$). Так как проекция $AC$ перпендикулярна прямой $BC$, то по теореме о трех перпендикулярах наклонная $DC$ также перпендикулярна прямой $BC$ ($DC \perp BC$). Прямая $DC$ лежит в плоскости $(DBC)$.

3. Мы нашли два перпендикуляра к общему ребру $BC$, проведенные из точки $C$: $AC$ в плоскости $(ABC)$ и $DC$ в плоскости $(DBC)$. Следовательно, угол $\angle ACD$ является линейным углом искомого двугранного угла.

4. Теперь найдем величину угла $\angle ACD$. Для этого рассмотрим треугольник $ACD$. Так как $DA \perp (ABC)$, то $DA \perp AC$, а значит, треугольник $ACD$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $A$.

Для нахождения угла $\angle ACD$ нам нужно знать длины катетов $AC$ и $AD$.

- Длина $AC$ дана по условию: $AC = 5$.

- Длину $AD$ найдем из других прямоугольных треугольников.

Сначала рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $AB^2 = AC^2 + CB^2$. По условию $AC = 5$ и $CB = 5$, тогда: $AB^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $DAB$ ($\angle A = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $DB^2 = DA^2 + AB^2$. По условию $DB = 5\sqrt{5}$, а $AB^2 = 50$ мы уже нашли. $(5\sqrt{5})^2 = DA^2 + 50$ $25 \cdot 5 = DA^2 + 50$ $125 = DA^2 + 50$ $DA^2 = 125 - 50 = 75$ $DA = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$.

5. Возвращаемся к прямоугольному треугольнику $ACD$. Мы знаем длины его катетов: $AC = 5$ и $AD = 5\sqrt{3}$. Найдем тангенс угла $\angle ACD$: $\tan(\angle ACD) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{AD}{AC} = \frac{5\sqrt{3}}{5} = \sqrt{3}$.

Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, составляет $60^\circ$. Таким образом, $\angle ACD = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.