Номер 176, страница 58 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

176. Через сторону AD ромба ABCD проведена плоскость ADM так, что двугранный угол BADM равен 60°. Найдите сторону ромба, если ∠BAD = 45° и расстояние от точки В до плоскости ADM равно 43.

Пусть сторона ромба $ABCD$ равна $a$. Таким образом, $AB = BC = CD = DA = a$.По условию, через сторону $AD$ проведена плоскость $ADM$. Обозначим плоскость ромба как $(ABC)$, а проведенную плоскость как $\alpha = (ADM)$. Линия пересечения этих плоскостей - прямая $AD$.Двугранный угол $BADM$ - это двугранный угол между плоскостями $(ABC)$ и $(ADM)$, и он равен $60^\circ$.Расстояние от точки $B$ до плоскости $(ADM)$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на эту плоскость. Обозначим этот перпендикуляр $BH$, где $H \in (ADM)$. По условию, $BH = 4\sqrt{3}$.

Для нахождения линейного угла двугранного угла опустим из точки $B$ в плоскости ромба перпендикуляр $BK$ на прямую $AD$. Таким образом, $BK \perp AD$.Теперь у нас есть перпендикуляр $BH$ к плоскости $(ADM)$ и наклонная $BK$ к этой же плоскости. $HK$ является проекцией наклонной $BK$ на плоскость $(ADM)$.По теореме о трех перпендикулярах, так как наклонная $BK$ перпендикулярна прямой $AD$, лежащей в плоскости $(ADM)$, то и ее проекция $HK$ перпендикулярна этой прямой. То есть, $HK \perp AD$.

Так как $BK \perp AD$ и $HK \perp AD$, то угол $\angle BKH$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABC)$ и $(ADM)$. Следовательно, $\angle BKH = 60^\circ$.Рассмотрим треугольник $\triangle BKH$. Так как $BH$ - перпендикуляр к плоскости $(ADM)$, то $BH$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, включая $HK$. Значит, $\triangle BKH$ - прямоугольный треугольник с прямым углом $\angle BHK = 90^\circ$.В этом треугольнике мы знаем катет $BH = 4\sqrt{3}$ и противолежащий ему угол $\angle BKH = 60^\circ$. Найдем гипотенузу $BK$:$ \sin(\angle BKH) = \frac{BH}{BK} $$ BK = \frac{BH}{\sin(60^\circ)} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 8 $

Теперь рассмотрим ромб $ABCD$ в его плоскости. Отрезок $BK$ является высотой ромба, опущенной из вершины $B$ на сторону $AD$.Рассмотрим треугольник $\triangle ABK$. Так как $BK \perp AD$, то $\triangle ABK$ - прямоугольный, с $\angle BKA = 90^\circ$.В этом треугольнике гипотенуза $AB$ - это сторона ромба $a$. Угол $\angle BAK$ - это угол ромба $\angle BAD$, который по условию равен $45^\circ$. Мы нашли катет $BK = 8$.Теперь можем найти гипотенузу $AB$:$ \sin(\angle BAK) = \frac{BK}{AB} $$ a = AB = \frac{BK}{\sin(\angle BAK)} = \frac{8}{\sin(45^\circ)} = \frac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2} $

Ответ: $8\sqrt{2}$.