Номер 170, страница 57 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

170. Из вершины В треугольника ABC, сторона АС которого лежит в плоскости α, проведён к этой плоскости перпендикуляр ВВ₁. Найдите расстояния от точки В до прямой АС и до плоскости α, если AB = 2 см, ∠BAC = 150° и двугранный угол ВАСВ₁ равен 45°.

Согласно условию задачи, мы имеем треугольник $ABC$, сторона $AC$ которого лежит в плоскости $\alpha$. Из вершины $B$ к этой плоскости проведен перпендикуляр $BB_1$, что означает $BB_1 \perp \alpha$. Также известны следующие данные: $AB = 2$ см, $\angle BAC = 150^\circ$, и двугранный угол $BACB_1$ равен $45^\circ$. Требуется найти два расстояния: от точки $B$ до прямой $AC$ и от точки $B$ до плоскости $\alpha$.

Расстояние от точки B до прямой AC

Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на прямую, содержащую сторону $AC$. Длина отрезка $BH$ является искомым расстоянием.

Поскольку угол $\angle BAC = 150^\circ$ является тупым, основание высоты, точка $H$, будет расположена на продолжении стороны $AC$ за точкой $A$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$, в котором $\angle BHA = 90^\circ$. Угол $\angle BAH$ смежен с углом $\angle BAC$, следовательно, его величина составляет: $$ \angle BAH = 180^\circ - \angle BAC = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ $$

В прямоугольном треугольнике $ABH$ катет $BH$ находится напротив угла в $30^\circ$. Длина этого катета равна половине длины гипотенузы $AB$: $$ BH = AB \cdot \sin(\angle BAH) = 2 \cdot \sin(30^\circ) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \text{ см} $$

Ответ: расстояние от точки $B$ до прямой $AC$ равно 1 см.

Расстояние от точки B до плоскости ?

Расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$ по определению равно длине перпендикуляра $BB_1$, опущенного из точки $B$ на эту плоскость.

Построим треугольник $BB_1H$. По условию, $BB_1 \perp \alpha$. Отрезок $BH$ является наклонной к плоскости $\alpha$, а $B_1H$ — ее проекцией на эту плоскость. Мы уже построили $BH \perp AC$.

Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($BH$) перпендикулярна прямой ($AC$), лежащей в плоскости, то и ее проекция ($B_1H$) перпендикулярна той же прямой. Отсюда следует, что $B_1H \perp AC$.

Следовательно, угол $\angle BHB_1$ является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостью треугольника $ABC$ и плоскостью $\alpha$ с ребром $AC$. По условию задачи, этот двугранный угол равен $45^\circ$, значит, $\angle BHB_1 = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $BB_1H$. Поскольку $BB_1 \perp \alpha$, а прямая $B_1H$ лежит в плоскости $\alpha$, то $BB_1 \perp B_1H$. Это означает, что треугольник $BB_1H$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B_1$.

В этом прямоугольном треугольнике нам известна гипотенуза $BH = 1$ см и острый угол $\angle BHB_1 = 45^\circ$. Найдем катет $BB_1$, который и является искомым расстоянием: $$ BB_1 = BH \cdot \sin(\angle BHB_1) = 1 \cdot \sin(45^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ см} $$

Ответ: расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$ см.