Номер 167, страница 57 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Параграф 3. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей. Глава 2. Перпендикулярность прямых и плоскостей - номер 167, страница 57.

Условие.

167. В тетраэдре DABC все рёбра равны, точка М — середина ребра АС. Докажите, что ∠DMB — линейный угол двугранного угла BACD.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

По условию задачи, в тетраэдре $DABC$ все рёбра равны. Такой тетраэдр называется правильным. Все его грани ($\triangle ABC$, $\triangle ADC$, $\triangle BDC$ и $\triangle ABD$) являются равными между собой равносторонними треугольниками.

Двугранный угол $BACD$ — это угол между плоскостями граней $(ABC)$ и $(ADC)$, которые пересекаются по ребру $AC$.

Линейный угол двугранного угла — это угол, образованный двумя лучами, которые выходят из одной точки на ребре двугранного угла, лежат в его гранях и перпендикулярны этому ребру.

Чтобы доказать, что $\angle DMB$ является линейным углом двугранного угла $BACD$, необходимо доказать, что отрезки $DM$ и $BM$ перпендикулярны ребру $AC$.

1. Рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Так как тетраэдр правильный, $\triangle ADC$ — равносторонний. Точка $M$ по условию является серединой стороны $AC$. Следовательно, отрезок $DM$ является медианой треугольника $\triangle ADC$. В равностороннем треугольнике медиана, проведённая к стороне, также является и высотой. Значит, $DM \perp AC$.

2. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Этот треугольник также является равносторонним. Точка $M$ — середина стороны $AC$. Следовательно, отрезок $BM$ является медианой треугольника $\triangle ABC$. Как и в предыдущем случае, в равностороннем треугольнике медиана является и высотой. Значит, $BM \perp AC$.

Таким образом, мы имеем два отрезка, $DM$ и $BM$, которые лежат в плоскостях граней $(ADC)$ и $(ABC)$ соответственно. Оба они проведены из одной точки $M$ на общем ребре $AC$ и оба перпендикулярны этому ребру. По определению, угол между этими отрезками, $\angle DMB$, является линейным углом двугранного угла $BACD$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.