Номер 161, страница 49 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

161. Луч ВА не лежит в плоскости неразвёрнутого угла CBD. Докажите , что если ∠ABC = ∠ABD, причём ∠ABC ‹ 90°, то проекцией луча ВА на плоскость CBD является биссектриса угла CBD.

Пусть $\alpha$ — плоскость, в которой лежит неразвернутый угол $CBD$. По условию, луч $BA$ не лежит в этой плоскости. Опустим из точки A, не лежащей в плоскости $\alpha$, перпендикуляр $AH$ на эту плоскость ($H \in \alpha$). Тогда луч $BH$ по определению является проекцией луча $BA$ на плоскость $\alpha$.

Нам необходимо доказать, что луч $BH$ является биссектрисой угла $CBD$. Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла. Следовательно, нам достаточно доказать, что любая точка на луче $BH$ (кроме точки B) равноудалена от сторон угла $CBD$, то есть от лучей $BC$ и $BD$. Докажем это для точки $H$.

Проведем из точки $H$ перпендикуляры $HM$ к лучу $BC$ (точка $M$ лежит на $BC$) и $HN$ к лучу $BD$ (точка $N$ лежит на $BD$). Длины этих перпендикуляров $HM$ и $HN$ являются расстояниями от точки $H$ до сторон угла $CBD$. Наша задача — доказать, что $HM = HN$.

Рассмотрим отрезки $AM$ и $AN$. По теореме о трех перпендикулярах:

• Так как $AH \perp \alpha$ (по построению), а $HM$ — проекция наклонной $AM$ на плоскость $\alpha$, и $HM \perp BC$, то и сама наклонная $AM \perp BC$. Следовательно, треугольник $\triangle AMB$ является прямоугольным с прямым углом $\angle AMB = 90^\circ$.
• Аналогично, так как $AH \perp \alpha$, а $HN$ — проекция наклонной $AN$ на плоскость $\alpha$, и $HN \perp BD$, то и сама наклонная $AN \perp BD$. Следовательно, треугольник $\triangle ANB$ является прямоугольным с прямым углом $\angle ANB = 90^\circ$.

Теперь сравним прямоугольные треугольники $\triangle AMB$ и $\triangle ANB$.

• У них общая гипотенуза $AB$.
• По условию задачи, $\angle ABC = \angle ABD$. Так как точки $M$ и $N$ лежат на лучах $BC$ и $BD$ соответственно, то $\angle ABM = \angle ABC$ и $\angle ABN = \angle ABD$. Следовательно, $\angle ABM = \angle ABN$.

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle AMB$ и $\triangle ANB$ равны по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих катетов: $AM = AN$.

Наконец, рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AHM$ и $\triangle AHN$.

• Они оба прямоугольные, так как $AH$ перпендикулярен любой прямой в плоскости $\alpha$, а значит $AH \perp HM$ и $AH \perp HN$. Прямые углы — $\angle AHM$ и $\angle AHN$.
• У них общий катет $AH$.
• Их гипотенузы $AM$ и $AN$ равны, что было доказано на предыдущем шаге.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle AHM$ и $\triangle AHN$ равны по катету и гипотенузе. Из их равенства следует равенство катетов $HM$ и $HN$.

Поскольку точка $H$ равноудалена от сторон угла $CBD$, она лежит на его биссектрисе. Так как $H$ лежит на проекции луча $BA$, то сам луч $BH$ является биссектрисой угла $CBD$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.