Номер 159, страница 49 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

159. Прямая ВМ перпендикулярна к плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что прямая, по которой пересекаются плоскости ADM и ВСМ, перпендикулярна к плоскости АВМ.

Доказательство:

1. По условию задачи $ABCD$ — прямоугольник. По определению прямоугольника, его смежные стороны перпендикулярны. Следовательно, $AD \perp AB$.

2. По условию, прямая $BM$ перпендикулярна плоскости прямоугольника $(ABC)$. По определению прямой, перпендикулярной плоскости, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Так как прямая $AD$ лежит в плоскости $(ABC)$, то $BM \perp AD$.

3. Из первых двух пунктов следует, что прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AB$ и $BM$, которые лежат в плоскости $(ABM)$ (они пересекаются в точке $B$). Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна самой плоскости. Таким образом, мы доказали, что $AD \perp (ABM)$.

4. Рассмотрим плоскости $(ADM)$ и $(BCM)$. Пусть их линия пересечения — прямая $l$.
Точка $M$ принадлежит обеим плоскостям, значит, она лежит на их линии пересечения $l$.
Плоскость $(ADM)$ содержит прямую $AD$, а плоскость $(BCM)$ содержит прямую $BC$.
Так как $ABCD$ — прямоугольник, его противолежащие стороны параллельны: $AD \parallel BC$.
По теореме о пересечении двух плоскостей, проходящих через параллельные прямые, их линия пересечения $l$ параллельна этим прямым. Следовательно, $l \parallel AD$.

5. Мы установили, что $AD \perp (ABM)$ (пункт 3) и что линия пересечения плоскостей $l$ параллельна прямой $AD$ (пункт 4). По теореме стереометрии, если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна этой плоскости. Отсюда следует, что $l \perp (ABM)$.

Таким образом, доказано, что прямая, по которой пересекаются плоскости $ADM$ и $BCM$, перпендикулярна к плоскости $ABM$.

Ответ: Утверждение доказано.