Номер 154, страница 48 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

154. Прямая BD перпендикулярна к плоскости треугольника ABC. Известно, что BD = 9 см, АС = 10 см, ВС = ВА = 13 см. Найдите: а) расстояние от точки D до прямой АС; б) площадь треугольника ACD.

По условию задачи дано, что прямая $BD$ перпендикулярна плоскости треугольника $ABC$, что записывается как $BD \perp (ABC)$. Также известны следующие длины: $BD = 9$ см, $AC = 10$ см и $BC = BA = 13$ см.

а) расстояние от точки D до прямой AC

Расстоянием от точки до прямой является длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Нам нужно найти длину перпендикуляра из точки $D$ к прямой $AC$.
1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Поскольку $BA = BC = 13$ см, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$.
2. Проведем в плоскости треугольника $ABC$ высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, $BH \perp AC$ и точка $H$ является серединой отрезка $AC$.
3. Найдем длину отрезка $HC$:
$HC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$ (где $\angle BHC = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем длину катета $BH$:
$BH^2 + HC^2 = BC^2$
$BH = \sqrt{BC^2 - HC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.
5. Теперь применим теорему о трех перпендикулярах. У нас есть перпендикуляр $BD$ к плоскости $(ABC)$ и наклонная $DH$ к этой же плоскости ($H$ лежит на прямой $AC$ в плоскости $(ABC)$). Отрезок $BH$ является проекцией наклонной $DH$ на плоскость $(ABC)$.
Поскольку прямая $AC$, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции $BH$ ($AC \perp BH$), то она перпендикулярна и самой наклонной $DH$. Таким образом, $DH \perp AC$.
Следовательно, длина отрезка $DH$ и есть искомое расстояние от точки $D$ до прямой $AC$.
6. Рассмотрим треугольник $DBH$. Так как $BD \perp (ABC)$, то прямая $BD$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, а значит $BD \perp BH$. Следовательно, треугольник $DBH$ — прямоугольный с прямым углом $\angle DBH$.
7. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $DH$:
$DH^2 = BD^2 + BH^2$
$DH = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ см.
Ответ: 15 см.

б) площадь треугольника ACD

Площадь треугольника находится по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ — основание треугольника, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.
1. В треугольнике $ACD$ в качестве основания возьмем сторону $AC$.
2. Высотой, проведенной из вершины $D$ к основанию $AC$, является перпендикуляр $DH$, так как мы доказали в пункте а), что $DH \perp AC$.
3. У нас есть все необходимые данные:
Основание $AC = 10$ см (по условию).
Высота $DH = 15$ см (найдено в пункте а).
4. Вычислим площадь треугольника $ACD$:
$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 15 = 75$ см².
Ответ: 75 см².