Номер 147, страница 48 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

147. Из точки М проведён перпендикуляр MB к плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что треугольники AMD и MCD прямоугольные.

По условию задачи, $MB$ — перпендикуляр к плоскости прямоугольника $ABCD$. Это означает, что $MB \perp (ABCD)$. Необходимо доказать, что треугольники $AMD$ и $MCD$ являются прямоугольными. Для доказательства воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах.

Треугольник AMD

Рассмотрим наклонную $MA$, проведенную из точки $M$ к плоскости $(ABCD)$. Так как $MB$ — перпендикуляр к этой плоскости, отрезок $AB$ является проекцией наклонной $MA$ на плоскость $(ABCD)$.

Прямая $AD$ лежит в плоскости $(ABCD)$. Поскольку $ABCD$ — это прямоугольник, его смежные стороны перпендикулярны, следовательно, $AD \perp AB$.

Согласно теореме о трех перпендикулярах: если прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной. В нашем случае прямая $AD$ перпендикулярна проекции $AB$, значит, она перпендикулярна и самой наклонной $MA$. Таким образом, $AD \perp MA$.

Из этого следует, что угол $\angle MAD = 90^\circ$. Треугольник, один из углов которого равен $90^\circ$, является прямоугольным. Следовательно, $\triangle AMD$ — прямоугольный.

Ответ: Треугольник $AMD$ является прямоугольным, так как $\angle MAD = 90^\circ$.

Треугольник MCD

Аналогично, рассмотрим наклонную $MC$, проведенную из точки $M$ к плоскости $(ABCD)$. Так как $MB$ — перпендикуляр к этой плоскости, отрезок $BC$ является проекцией наклонной $MC$ на плоскость $(ABCD)$.

Прямая $CD$ лежит в плоскости $(ABCD)$. Поскольку $ABCD$ — это прямоугольник, его смежные стороны перпендикулярны, следовательно, $CD \perp BC$.

Применяя ту же теорему о трех перпендикулярах: так как прямая $CD$ перпендикулярна проекции $BC$, она перпендикулярна и самой наклонной $MC$. Таким образом, $CD \perp MC$.

Из этого следует, что угол $\angle MCD = 90^\circ$. Следовательно, $\triangle MCD$ — прямоугольный.

Ответ: Треугольник $MCD$ является прямоугольным, так как $\angle MCD = 90^\circ$.