Номер 153, страница 48 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

153. Докажите, что прямая а, проведённая в плоскости α через основание М наклонной AM перпендикулярно к ней, перпендикулярна к её проекции НМ (см. рис. 53).

Решение

Прямая а перпендикулярна к плоскости АМН, так как она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости (a ⊥ AM по условию и a ⊥ AH, так как AH ⊥ α ). Отсюда следует, что прямая а перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости АМН, в частности a ⊥ HM, что и требовалось доказать.

Это утверждение известно как теорема, обратная теореме о трёх перпендикулярах. Для доказательства воспользуемся определением перпендикуляра к плоскости и признаком перпендикулярности прямой и плоскости.

Нам дано:

• $AM$ — наклонная к плоскости $\alpha$.
• $M$ — основание наклонной в плоскости $\alpha$.
• $HM$ — проекция наклонной $AM$ на плоскость $\alpha$. Из этого следует, что $AH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то есть $AH \perp \alpha$.
• Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), проходит через точку $M$ и перпендикулярна наклонной $AM$ ($a \perp AM$).

Требуется доказать, что прямая $a$ перпендикулярна проекции $HM$ ($a \perp HM$).

Решение:

1. Так как $AH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то по определению он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ по условию ($a \subset \alpha$). Следовательно, $AH \perp a$.

2. По условию задачи прямая $a$ перпендикулярна наклонной $AM$. То есть, $a \perp AM$.

3. Прямые $AM$ и $AH$ пересекаются в точке $A$ и образуют плоскость $(AMH)$. Мы установили, что прямая $a$ перпендикулярна двум этим пересекающимся прямым: $a \perp AH$ и $a \perp AM$.

4. Воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Из этого следует, что прямая $a$ перпендикулярна плоскости $(AMH)$.

5. Прямая $HM$ (проекция наклонной) лежит в плоскости $(AMH)$, так как обе её точки, $H$ и $M$, принадлежат этой плоскости. По определению, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

6. Так как $a \perp (AMH)$ и $HM \subset (AMH)$, то мы приходим к выводу, что $a \perp HM$.

Таким образом, мы доказали, что прямая $a$, проведённая в плоскости $\alpha$ через основание наклонной $AM$ перпендикулярно к ней, также перпендикулярна и её проекции $HM$.

Ответ: Утверждение доказано.