Номер 149, страница 48 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

149. Отрезок AD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника ABC. Известно, что АВ = АС = 5 см, ВС = 6 см, АD = 12 см. Найдите расстояния от концов отрезка AD до прямой ВС.

Задача состоит в том, чтобы найти два расстояния: от точки A до прямой BC и от точки D до прямой BC.

Расстояние от конца A отрезка AD до прямой BC

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Рассмотрим треугольник ABC в его плоскости. Проведем из вершины A перпендикуляр AH к стороне BC. Длина отрезка AH и будет искомым расстоянием от точки A до прямой BC.

По условию, треугольник ABC является равнобедренным с основанием BC, так как боковые стороны равны: $AB = AC = 5$ см. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой.

Следовательно, AH не только высота ($AH \perp BC$), но и медиана. Как медиана, AH делит основание BC пополам. Найдем длину отрезка BH:

$BH = \frac{1}{2} BC = \frac{6 \text{ см}}{2} = 3 \text{ см}.$

Теперь рассмотрим треугольник AHB. Он прямоугольный, так как AH — высота. По теореме Пифагора ($c^2 = a^2 + b^2$), где c — гипотенуза, а a и b — катеты:

$AB^2 = AH^2 + BH^2$

Мы можем выразить и вычислить длину катета AH:

$AH^2 = AB^2 - BH^2$

$AH^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$

$AH = \sqrt{16} = 4 \text{ см}.$

Ответ: 4 см.

Расстояние от конца D отрезка AD до прямой BC

По условию, отрезок AD перпендикулярен плоскости треугольника ABC. Это значит, что AD перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку A. Искомое расстояние от точки D до прямой BC — это длина перпендикуляра, опущенного из D на BC.

Для нахождения этого расстояния воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах. У нас есть:

• Перпендикуляр к плоскости: $AD \perp (ABC)$.
• Наклонная из точки D к прямой BC: отрезок DH.
• Проекция этой наклонной на плоскость (ABC): отрезок AH.

Из первой части решения мы знаем, что проекция AH перпендикулярна прямой BC ($AH \perp BC$). Согласно теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной перпендикулярна прямой на плоскости, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $DH \perp BC$.

Таким образом, длина отрезка DH и есть искомое расстояние от точки D до прямой BC.

Найдем длину DH. Рассмотрим треугольник ADH. Так как $AD \perp (ABC)$, то $AD \perp AH$. Это означает, что треугольник ADH — прямоугольный с прямым углом при вершине A.

Применим теорему Пифагора к треугольнику ADH:

$DH^2 = AD^2 + AH^2$

Подставим известные значения: $AD = 12$ см (из условия) и $AH = 4$ см (из первой части решения).

$DH^2 = 12^2 + 4^2 = 144 + 16 = 160$

Теперь найдем длину DH:

$DH = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10} \text{ см}.$

Ответ: $4\sqrt{10}$ см.