Номер 155, страница 48 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

155. Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного треугольника ABC проведена прямая СМ, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ, если АС = 4 см, a CM = 27см.

По условию, треугольник $ABC$ является равнобедренным и прямоугольным, с прямым углом при вершине $C$. Это означает, что катеты $AC$ и $BC$ равны. Нам дано, что $AC = 4$ см, следовательно, $BC = 4$ см.

Прямая $CM$ перпендикулярна плоскости треугольника $ABC$. Расстояние от точки $M$ до прямой $AB$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на прямую $AB$. Обозначим основание этого перпендикуляра как $H$, то есть искомое расстояние равно длине отрезка $MH$, где $H \in AB$ и $MH \perp AB$.

Для нахождения длины $MH$ воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах. Так как $CM$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, а $MH$ — наклонная к этой плоскости, то ее проекцией на плоскость $(ABC)$ является отрезок $CH$. По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная $MH$ перпендикулярна прямой $AB$, лежащей в плоскости, то и ее проекция $CH$ также перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $CH \perp AB$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. В нем $CH$ является высотой, проведенной к гипотенузе $AB$. Поскольку $\triangle ABC$ — равнобедренный, высота $CH$ также является медианой. Следовательно, $H$ — середина гипотенузы $AB$.

Найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора в $\triangle ABC$:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$

$AB = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Так как $CH$ — медиана, проведенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, ее длина равна половине длины гипотенузы:

$CH = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $MCH$. Поскольку $CM \perp (ABC)$, а отрезок $CH$ лежит в этой плоскости и проходит через точку $C$, то $CM \perp CH$. Следовательно, $\triangle MCH$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

Найдем длину искомого расстояния $MH$ (которая является гипотенузой в $\triangle MCH$) по теореме Пифагора. Нам известны катеты: $CM = 2\sqrt{7}$ см (по условию) и $CH = 2\sqrt{2}$ см (как мы нашли ранее).

$MH^2 = CM^2 + CH^2 = (2\sqrt{7})^2 + (2\sqrt{2})^2 = (4 \cdot 7) + (4 \cdot 2) = 28 + 8 = 36$

$MH = \sqrt{36} = 6$ см.

Ответ: 6 см.