Номер 152, страница 48 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

152. Через вершину В квадрата ABCD проведена прямая BF, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояния от точки F до прямых, содержащих стороны и диагонали квадрата, если BF = 8 дм, АВ = 4 дм.

По условию задачи, дан квадрат $ABCD$ со стороной $AB = 4$ дм. Через вершину $B$ проведена прямая $BF$, перпендикулярная плоскости квадрата, с длиной $BF = 8$ дм. Это означает, что $BF \perp (ABC)$. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Для решения задачи будем использовать теорему о трех перпендикулярах.

Расстояние от точки F до прямых AB, BC и BD

Поскольку прямая $BF$ перпендикулярна плоскости квадрата $(ABC)$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через ее основание — точку $B$. Прямые $AB$, $BC$ и диагональ $BD$ лежат в плоскости $(ABC)$ и проходят через точку $B$.

Следовательно, $BF \perp AB$, $BF \perp BC$ и $BF \perp BD$.

Таким образом, отрезок $BF$ является перпендикуляром от точки $F$ к каждой из этих прямых, и его длина является искомым расстоянием.

Ответ: Расстояние от точки $F$ до прямых $AB$, $BC$ и $BD$ равно 8 дм.

Расстояние от точки F до прямых AD и CD

Для нахождения расстояния от точки $F$ до прямой $AD$ воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах. У нас есть перпендикуляр $BF$ к плоскости $(ABC)$ и наклонная $FA$. Проекцией наклонной $FA$ на плоскость является сторона квадрата $AB$. Так как в квадрате смежные стороны перпендикулярны ($AB \perp AD$), то по теореме о трех перпендикулярах наклонная $FA$ также перпендикулярна прямой $AD$ ($FA \perp AD$). Следовательно, искомое расстояние — это длина отрезка $FA$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle FBA$ (угол $\angle FBA = 90^\circ$). По теореме Пифагора:

$FA^2 = FB^2 + AB^2 = 8^2 + 4^2 = 64 + 16 = 80$

$FA = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$ дм.

Аналогично для прямой $CD$. Проекцией наклонной $FC$ на плоскость $(ABC)$ является сторона $BC$. Так как $BC \perp CD$, то по теореме о трех перпендикулярах $FC \perp CD$. Искомое расстояние — это длина отрезка $FC$. Из прямоугольного треугольника $\triangle FBC$ ($\angle FBC = 90^\circ$):

$FC^2 = FB^2 + BC^2 = 8^2 + 4^2 = 64 + 16 = 80$

$FC = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ дм.

Ответ: Расстояние от точки $F$ до прямых $AD$ и $CD$ равно $4\sqrt{5}$ дм.

Расстояние от точки F до прямой AC

Для нахождения расстояния от точки $F$ до прямой $AC$ снова применим теорему о трех перпендикулярах. Сначала найдем расстояние от основания перпендикуляра (точки $B$) до прямой $AC$. В квадрате диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны. Пусть $O$ — точка их пересечения. Тогда $BO$ — перпендикуляр, опущенный из точки $B$ на прямую $AC$.

Отрезок $BO$ является проекцией наклонной $FO$ на плоскость $(ABC)$. Так как проекция $BO$ перпендикулярна прямой $AC$, то и сама наклонная $FO$ перпендикулярна $AC$. Значит, искомое расстояние — это длина отрезка $FO$.

Найдем длину $BO$. Диагональ квадрата $BD = AB\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ дм. Точка $O$ делит диагональ пополам, поэтому $BO = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}(4\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$ дм.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle FBO$ (угол $\angle FBO = 90^\circ$, так как $BF \perp BO$). По теореме Пифагора:

$FO^2 = FB^2 + BO^2 = 8^2 + (2\sqrt{2})^2 = 64 + 4 \cdot 2 = 64 + 8 = 72$

$FO = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ дм.

Ответ: Расстояние от точки $F$ до прямой $AC$ равно $6\sqrt{2}$ дм.