Номер 158, страница 49 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

158. Через вершину В ромба ABCD проведена прямая ВМ, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки М до прямых, содержащих стороны ромба, если АВ = 25 см, ∠BAD = 60°, BM = 12,5 см.

Поскольку прямая $BM$ перпендикулярна плоскости ромба $(ABC)$, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $B$. Следовательно, $BM$ перпендикулярна прямым $AB$ и $BC$.

Для решения задачи нам нужно найти расстояния от точки $M$ до четырех прямых: $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$.

Расстояние от точки M до прямых AB и BC

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую.

Так как $BM \perp AB$, то отрезок $BM$ и есть перпендикуляр от точки $M$ к прямой $AB$. Следовательно, расстояние от $M$ до $AB$ равно длине $BM$.

Аналогично, так как $BM \perp BC$, то расстояние от $M$ до $BC$ также равно длине $BM$.

По условию $BM = 12,5$ см.

Ответ: расстояние от точки $M$ до прямых $AB$ и $BC$ равно 12,5 см.

Расстояние от точки M до прямых AD и CD

Для нахождения расстояния от точки $M$ до прямых $AD$ и $CD$ воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах.

1. Расстояние до прямой AD.
Пусть $MH$ — перпендикуляр из точки $M$ к прямой $AD$ (то есть, $MH$ — искомое расстояние). Тогда $BH$ является проекцией наклонной $MH$ на плоскость ромба. По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная $MH$ перпендикулярна прямой $AD$ в плоскости, то и ее проекция $BH$ перпендикулярна этой прямой ($BH \perp AD$).

Длина отрезка $BH$ — это расстояние от точки $B$ до прямой $AD$ в плоскости ромба, что является высотой ромба. Найдем высоту ромба $h$, проведенную из вершины $B$ к стороне $AD$. В треугольнике $ABD$ высота $BH$ может быть найдена по формуле: $h = AB \cdot \sin(\angle BAD)$.

$BH = 25 \cdot \sin(60^\circ) = 25 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12,5\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $MBH$ (угол $MBH$ прямой, так как $BM$ перпендикулярна плоскости ромба, а $BH$ лежит в этой плоскости). По теореме Пифагора найдем гипотенузу $MH$:

$MH^2 = BM^2 + BH^2$

$MH^2 = (12,5)^2 + (12,5\sqrt{3})^2 = 12,5^2 + 12,5^2 \cdot 3 = 12,5^2 \cdot (1+3) = 12,5^2 \cdot 4$

$MH = \sqrt{12,5^2 \cdot 4} = 12,5 \cdot 2 = 25$ см.

2. Расстояние до прямой CD.
Ромб $ABCD$ симметричен относительно диагонали $BD$. Треугольники $ABD$ и $CBD$ равны. Расстояние от точки $B$ до прямой $CD$ равно высоте ромба, которую мы уже вычислили. То есть, если мы опустим перпендикуляр $BK$ из точки $B$ на прямую $CD$, то его длина $BK$ будет также равна $12,5\sqrt{3}$ см.

Аналогично, по теореме о трех перпендикулярах, расстояние от точки $M$ до прямой $CD$ (обозначим его $MK$) будет гипотенузой в прямоугольном треугольнике $MBK$.

$MK^2 = BM^2 + BK^2 = (12,5)^2 + (12,5\sqrt{3})^2 = 25^2$

$MK = 25$ см.

Ответ: расстояние от точки $M$ до прямых $AD$ и $CD$ равно 25 см.