Номер 160, страница 49 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

160. Концы отрезка АВ лежат на двух параллельных плоскостях, расстояние между которыми равно d, причём d ‹ AB. Докажите, что проекции отрезка АВ на эти плоскости равны. Найдите эти проекции, если АВ = 13 см, d = 5 см.

Докажите, что проекции отрезка AB на эти плоскости равны

Пусть даны две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$, и расстояние между ними равно $d$. Отрезок $AB$ расположен так, что его концы лежат на этих плоскостях: точка $A$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$), а точка $B$ — плоскости $\beta$ ($B \in \beta$).

Ортогональной проекцией точки $B$ на плоскость $\alpha$ является точка $B_1$. Тогда проекцией отрезка $AB$ на плоскость $\alpha$ будет отрезок $AB_1$. По определению расстояния между параллельными плоскостями, длина перпендикуляра $BB_1$ равна $d$.

Аналогично, ортогональной проекцией точки $A$ на плоскость $\beta$ является точка $A_1$. Проекцией отрезка $AB$ на плоскость $\beta$ будет отрезок $A_1B$. Длина перпендикуляра $AA_1$ также равна $d$.

Рассмотрим четырехугольник $AA_1BB_1$. Так как прямые $AA_1$ и $BB_1$ перпендикулярны параллельным плоскостям, то они параллельны друг другу: $AA_1 \parallel BB_1$. Кроме того, их длины равны расстоянию между плоскостями: $AA_1 = BB_1 = d$.

Поскольку в четырехугольнике $AA_1BB_1$ две противолежащие стороны ($AA_1$ и $BB_1$) равны и параллельны, этот четырехугольник является параллелограммом.

В параллелограмме противолежащие стороны равны, следовательно, $AB_1 = A_1B$. Так как $AB_1$ и $A_1B$ являются проекциями отрезка $AB$ на плоскости $\alpha$ и $\beta$ соответственно, то их равенство доказано.

Ответ: Равенство проекций доказано. Проекции являются противоположными сторонами параллелограмма $AA_1BB_1$, образованного отрезком и перпендикулярами между плоскостями.

Найдите эти проекции, если AB = 13 см, d = 5 см

Из доказательства выше мы знаем, что длины проекций равны. Найдем длину одной из них, например, $A_1B$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AA_1B$. Так как $A_1$ — это ортогональная проекция точки $A$ на плоскость $\beta$, то отрезок $AA_1$ перпендикулярен плоскости $\beta$. Это значит, что $AA_1$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A_1$. В частности, $AA_1 \perp A_1B$.

Следовательно, треугольник $\triangle AA_1B$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A_1$. В этом треугольнике:
- $AB$ — гипотенуза, по условию $AB = 13$ см.
- $AA_1$ — катет, его длина равна расстоянию между плоскостями, $AA_1 = d = 5$ см.
- $A_1B$ — второй катет, его длина является искомой длиной проекции.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $AB^2 = AA_1^2 + A_1B^2$.

Выразим из формулы искомую длину проекции $A_1B$:
$A_1B^2 = AB^2 - AA_1^2$
Подставим числовые значения:
$A_1B^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
$A_1B = \sqrt{144} = 12$ см.

Ответ: 12 см.