Номер 166, страница 57 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

166. Неперпендикулярные плоскости α и β пересекаются по прямой MN. В плоскости β из точки А проведён перпендикуляр АВ к прямой MN и из той же точки А проведён перпендикуляр АС к плоскости α. Докажите, что ∠ABC — линейный угол двугранного угла AMNC.

Для доказательства того, что $\angle ABC$ является линейным углом двугранного угла $AMNC$, необходимо показать, что его стороны, лучи $BA$ и $BC$, лежат в гранях двугранного угла (плоскостях $\beta$ и $\alpha$ соответственно) и оба перпендикулярны ребру двугранного угла $MN$ в одной и той же точке $B$.

Рассмотрим данные условия:

1. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $MN$. Эта прямая является ребром двугранного угла.

2. В плоскости $\beta$ из точки $A$ проведен перпендикуляр $AB$ к прямой $MN$. Это означает, что $AB \perp MN$. Так как точка $A \in \beta$ и точка $B \in MN \subset \beta$, то весь отрезок $AB$ (и луч $BA$) лежит в плоскости $\beta$. Таким образом, мы имеем луч $BA$ в одной из граней двугранного угла, перпендикулярный его ребру.

3. Из той же точки $A$ проведен перпендикуляр $AC$ к плоскости $\alpha$. Это означает, что $AC \perp \alpha$.

Теперь докажем, что луч $BC$ лежит в плоскости $\alpha$ и также перпендикулярен прямой $MN$.

Рассмотрим отрезок $AC$ как перпендикуляр к плоскости $\alpha$, а отрезок $AB$ — как наклонную, проведенную из точки $A$ к плоскости $\alpha$ (точка $B$ лежит на прямой $MN$, которая находится в плоскости $\alpha$, следовательно $B \in \alpha$).В этом случае отрезок $BC$ является проекцией наклонной $AB$ на плоскость $\alpha$.

По условию, наклонная $AB$ перпендикулярна прямой $MN$, которая лежит в плоскости $\alpha$ и проходит через основание наклонной, точку $B$.

Воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах. Она гласит: если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и ее проекции на эту плоскость.В нашем случае прямая $MN$ лежит в плоскости $\alpha$ и перпендикулярна наклонной $AB$. Следовательно, прямая $MN$ перпендикулярна и проекции $BC$. То есть, $BC \perp MN$.

Так как точки $B$ и $C$ лежат в плоскости $\alpha$, то и вся прямая $BC$ (и луч $BC$) лежит в плоскости $\alpha$.

Таким образом, мы установили, что:

• Луч $BA$ лежит в плоскости $\beta$ и $BA \perp MN$.
• Луч $BC$ лежит в плоскости $\alpha$ и $BC \perp MN$.
• Оба луча выходят из одной точки $B$ на ребре $MN$.

Следовательно, по определению, угол $\angle ABC$ является линейным углом двугранного угла $AMNC$.

Ответ: Утверждение доказано.