Номер 171, страница 57 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

171. Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости α, а катет наклонён к этой плоскости под углом 30°. Найдите угол между плоскостью α и плоскостью треугольника.

Пусть дан прямоугольный равнобедренный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Поскольку треугольник равнобедренный, его катеты равны: $AC = BC$. По условию, гипотенуза $AB$ лежит в плоскости $\alpha$.

Угол между прямой (в данном случае, катетом $AC$) и плоскостью ($\alpha$) — это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. Опустим из вершины $C$ перпендикуляр $CH$ на плоскость $\alpha$. Точка $H$ будет основанием этого перпендикуляра, а отрезок $AH$ — проекцией катета $AC$ на плоскость $\alpha$. По условию задачи, угол между катетом и плоскостью равен $30^\circ$, то есть $\angle CAH = 30^\circ$.

Угол между плоскостью треугольника $ABC$ и плоскостью $\alpha$ является двугранным углом, образованным этими плоскостями. Линия пересечения данных плоскостей — это гипотенуза $AB$. Для нахождения величины этого двугранного угла необходимо построить его линейный угол.

Проведём в плоскости треугольника $ABC$ высоту $CM$ к гипотенузе $AB$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB$, высота $CM$ также является и медианой. Таким образом, $CM$ перпендикулярна $AB$ ($CM \perp AB$).

Рассмотрим наклонную $CM$ к плоскости $\alpha$. $CH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, а $HM$ — проекция наклонной $CM$ на эту плоскость. Согласно теореме о трёх перпендикулярах, если наклонная ($CM$) перпендикулярна прямой, лежащей в плоскости ($AB$), то и её проекция ($HM$) перпендикулярна этой же прямой ($HM \perp AB$).

Мы имеем две прямые, $CM$ и $HM$, которые перпендикулярны линии пересечения плоскостей $AB$ и проходят через одну точку $M$. Прямая $CM$ лежит в плоскости треугольника, а прямая $HM$ — в плоскости $\alpha$. Следовательно, угол $\angle CMH$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью треугольника $ABC$ и плоскостью $\alpha$. Наша задача — найти величину этого угла.

Для этого выполним вычисления. Обозначим длину равных катетов $AC$ и $BC$ переменной $a$.

В прямоугольном треугольнике $CAH$ (где $\angle CHA = 90^\circ$, поскольку $CH \perp \alpha$) катет $CH$ лежит против угла в $30^\circ$:
$CH = AC \cdot \sin(\angle CAH) = a \cdot \sin(30^\circ) = a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a}{2}$.

В прямоугольном равнобедренном треугольнике $ABC$ найдём длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
Высота (и медиана) $CM$, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы:
$CM = \frac{1}{2}AB = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CHM$ (где $\angle CHM = 90^\circ$, так как $CH \perp \alpha$ и $HM$ лежит в $\alpha$). В этом треугольнике нам известны длина катета $CH$ и гипотенузы $CM$. Искомый угол — $\angle CMH$. Найдём его синус:
$\sin(\angle CMH) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CH}{CM} = \frac{a/2}{a\sqrt{2}/2} = \frac{a}{2} \cdot \frac{2}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Угол, синус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, составляет $45^\circ$. Таким образом, угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью треугольника равен $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.