номер 178 (страница 58) гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов, Кадомцев

178. Плоскости α и β взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой с. Докажите, что любая прямая плоскости α, перпендикулярная к прямой с, перпендикулярна к плоскости β.

Решение

Проведём в плоскости α произвольную прямую АС, перпендикулярную к прямой с, С ∈ с. Докажем, что CA ⊥ β.

В плоскости β через точку С проведём прямую СВ, перпендикулярную к прямой с. Так как СА ⊥ с и СВ ⊥ с, то ∠АСB — линейный угол одного из двугранных углов, образованных плоскостями α и β. По условию задачи α ⊥ β, поэтому ∠АСВ — прямой, т. е. СА ⊥ СВ. Таким образом, прямая СА перпендикулярна к двум пересекающимся прямым с и СВ плоскости β, поэтому СА ⊥ β.