Номер 178, страница 58 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

178. Плоскости α и β взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой с. Докажите, что любая прямая плоскости α, перпендикулярная к прямой с, перпендикулярна к плоскости β.

Решение

Проведём в плоскости α произвольную прямую АС, перпендикулярную к прямой с, С ∈ с. Докажем, что CA ⊥ β.

В плоскости β через точку С проведём прямую СВ, перпендикулярную к прямой с. Так как СА ⊥ с и СВ ⊥ с, то ∠АСB — линейный угол одного из двугранных углов, образованных плоскостями α и β. По условию задачи α ⊥ β, поэтому ∠АСВ — прямой, т. е. СА ⊥ СВ. Таким образом, прямая СА перпендикулярна к двум пересекающимся прямым с и СВ плоскости β, поэтому СА ⊥ β.

Решение

Пусть плоскости $\alpha$ и $\beta$ взаимно перпендикулярны ($ \alpha \perp \beta $) и пересекаются по прямой $c$ ($ \alpha \cap \beta = c $). Возьмём в плоскости $\alpha$ произвольную прямую, назовем ее $a$, которая перпендикулярна прямой $c$. Пусть точка их пересечения — $C$. Таким образом, у нас есть: $a \subset \alpha$, $a \perp c$, и $a \cap c = C$. Нам необходимо доказать, что прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\beta$ ($a \perp \beta$).

Для доказательства воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости: прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Одна такая прямая в плоскости $\beta$ у нас уже есть — это прямая $c$, так как по условию $a \perp c$ и $c \subset \beta$. Теперь нам нужно найти вторую прямую.

Проведём в плоскости $\beta$ через точку $C$ прямую $b$, перпендикулярную прямой $c$. Таким образом, $b \subset \beta$ и $b \perp c$.

Рассмотрим угол, образованный прямыми $a$ и $b$. Так как обе прямые $a$ и $b$ перпендикулярны общей прямой $c$ в одной и той же точке $C$, то по определению угол между ними является линейным углом двугранного угла между плоскостями $\alpha$ и $\beta$.

По условию задачи плоскости $\alpha$ и $\beta$ взаимно перпендикулярны. Это означает, что величина двугранного угла между ними равна $90^\circ$. Следовательно, его линейный угол также равен $90^\circ$. Таким образом, прямые $a$ и $b$ перпендикулярны: $a \perp b$.

Итак, мы установили, что прямая $a$ перпендикулярна двум прямым, лежащим в плоскости $\beta$:
1. $a \perp c$ (по нашему выбору прямой $a$).
2. $a \perp b$ (как было доказано выше).

Прямые $c$ и $b$ лежат в плоскости $\beta$ и пересекаются в точке $C$. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\beta$.

Поскольку прямая $a$ была выбрана как произвольная прямая в плоскости $\alpha$, перпендикулярная прямой $c$, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.