Номер 177, страница 58 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

177. Докажите, что плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.

Обозначим данные плоскости как $\alpha$ и $\beta$, прямую их пересечения как $c$, а плоскость, перпендикулярную этой прямой, как $\gamma$.

Дано:
Плоскости $\alpha$, $\beta$, $\gamma$.
Прямая $c$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$: $\alpha \cap \beta = c$.
Плоскость $\gamma$ перпендикулярна прямой $c$: $\gamma \perp c$.

Доказать:
Плоскость $\gamma$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($\gamma \perp \alpha$) и плоскость $\gamma$ перпендикулярна плоскости $\beta$ ($\gamma \perp \beta$).

Доказательство:

Для доказательства воспользуемся признаком перпендикулярности двух плоскостей: если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

1. По условию, плоскость $\gamma$ перпендикулярна прямой $c$. Из определения перпендикулярности прямой и плоскости следует, что и прямая $c$ перпендикулярна плоскости $\gamma$. Запишем это как $c \perp \gamma$.

2. Так как прямая $c$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, то по определению она принадлежит каждой из этих плоскостей: $c \subset \alpha$ и $c \subset \beta$.

3. Рассмотрим плоскости $\alpha$ и $\gamma$. Плоскость $\alpha$ проходит через прямую $c$ (согласно п. 2), а прямая $c$ перпендикулярна плоскости $\gamma$ (согласно п. 1). Следовательно, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $\gamma$, то есть $\alpha \perp \gamma$.

4. Аналогично рассмотрим плоскости $\beta$ и $\gamma$. Плоскость $\beta$ проходит через прямую $c$ (согласно п. 2), а прямая $c$ перпендикулярна плоскости $\gamma$ (согласно п. 1). Следовательно, по тому же признаку перпендикулярности плоскостей, плоскость $\beta$ перпендикулярна плоскости $\gamma$, то есть $\beta \perp \gamma$.

Таким образом, доказано, что плоскость $\gamma$, перпендикулярная к линии пересечения $\alpha$ и $\beta$, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, данное в условии задачи, доказано.