Номер 180, страница 58 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

180. Докажите, что плоскость и не лежащая в ней прямая, перпендикулярные к одной и той же плоскости, параллельны.

Дано:

Пусть даны плоскость $\alpha$, прямая $a$ и плоскость $\gamma$. Согласно условию задачи:

• Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $\gamma$ ($\alpha \perp \gamma$).
• Прямая $a$ перпендикулярна той же плоскости $\gamma$ ($a \perp \gamma$).
• Прямая $a$ не лежит в плоскости $\alpha$ ($a \not\subset \alpha$).

Доказать:

Необходимо доказать, что прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$).

Доказательство:

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что прямая $a$ не параллельна плоскости $\alpha$.

По определению, если прямая не параллельна плоскости и не лежит в ней, то она пересекает эту плоскость. Следовательно, из нашего предположения и условия ($a \not\subset \alpha$) следует, что прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в некоторой единственной точке. Обозначим эту точку $M$.

Итак, $a \cap \alpha = \{M\}$.

Поскольку точка $M$ принадлежит плоскости $\alpha$ и по условию $\alpha \perp \gamma$, то в плоскости $\alpha$ можно провести прямую, проходящую через точку $M$ и перпендикулярную плоскости $\gamma$. Назовем эту прямую $c$. (Такая прямая $c$ существует и единственна; она строится в плоскости $\alpha$ как перпендикуляр к линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\gamma$). Таким образом, мы построили прямую $c$, для которой выполняются следующие условия: $M \in c$, $c \subset \alpha$ и $c \perp \gamma$.

Теперь мы имеем две прямые, $a$ и $c$. Обе они проходят через одну и ту же точку $M$, и обе перпендикулярны одной и той же плоскости $\gamma$:

• $a \perp \gamma$ (по условию задачи).
• $c \perp \gamma$ (по нашему построению).

Это вступает в противоречие с fundamentalной теоремой стереометрии, которая гласит, что через любую точку пространства проходит только одна прямая, перпендикулярная данной плоскости.

Из этой теоремы следует, что наши прямые $a$ и $c$ должны совпадать ($a \equiv c$).

Однако это приводит к новому противоречию. По построению, прямая $c$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$). Если $a \equiv c$, то и прямая $a$ должна лежать в плоскости $\alpha$. Но это противоречит исходному условию задачи, согласно которому $a \not\subset \alpha$.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение (о том, что прямая $a$ не параллельна плоскости $\alpha$) было неверным.

Следовательно, прямая $a$ не может пересекать плоскость $\alpha$. Так как она и не лежит в ней, остается единственно возможный случай: прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Плоскость и не лежащая в ней прямая, перпендикулярные к одной и той же плоскости, параллельны.