Номер 185, страница 59 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

185. Прямая a не перпендикулярна к плоскости α. Докажите, что существует плоскость, проходящая через прямую а и перпендикулярная к плоскости α.

Решение

Через произвольную точку М прямой а проведём прямую р, перпендикулярную к плоскости α, и рассмотрим плоскость β, проходящую через прямые а и р. Плоскость β является искомой, так как она проходит через прямую а и по признаку перпендикулярности двух плоскостей перпендикулярна к плоскости α.

Решение:

Пусть нам даны прямая $a$ и плоскость $\alpha$, причём прямая $a$ не перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($a \not\perp \alpha$). Требуется доказать, что существует плоскость $\beta$, которая проходит через прямую $a$ и одновременно перпендикулярна плоскости $\alpha$.

Доказательство проведём методом построения.

1. Выберем на прямой $a$ произвольную точку $M$. Согласно аксиоме принадлежности, на любой прямой лежат точки, так что $M \in a$.

2. Через точку $M$ проведём прямую $p$, перпендикулярную плоскости $\alpha$. Согласно теореме о существовании и единственности прямой, перпендикулярной к плоскости, через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости. Таким образом, мы построили прямую $p$ такую, что $M \in p$ и $p \perp \alpha$.

3. Прямые $a$ и $p$ пересекаются в точке $M$. Так как по условию $a \not\perp \alpha$, а по построению $p \perp \alpha$, то прямые $a$ и $p$ не совпадают. Две различные пересекающиеся прямые однозначно определяют плоскость. Проведём через прямые $a$ и $p$ плоскость $\beta$.

4. Проверим, является ли плоскость $\beta$ искомой.

• По построению, прямая $a$ лежит в плоскости $\beta$ ($a \subset \beta$). Первое условие выполнено.
• Теперь докажем, что $\beta \perp \alpha$. Воспользуемся признаком перпендикулярности двух плоскостей: если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

В нашем случае плоскость $\beta$ проходит через прямую $p$ ($p \subset \beta$), которая по построению перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($p \perp \alpha$). Следовательно, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскость $\beta$ перпендикулярна плоскости $\alpha$. Второе условие также выполнено.

Мы построили плоскость $\beta$, которая проходит через прямую $a$ и перпендикулярна плоскости $\alpha$. Таким образом, существование такой плоскости доказано. Что и требовалось доказать.

Ответ: Существование такой плоскости доказано. Алгоритм построения и доказательства заключается в следующем: через произвольную точку на данной прямой $a$ проводится прямая $p$, перпендикулярная данной плоскости $\alpha$. Плоскость $\beta$, проходящая через две пересекающиеся прямые $a$ и $p$, является искомой, так как она содержит прямую $a$ и перпендикулярна плоскости $\alpha$ по признаку перпендикулярности плоскостей.