Страница 59 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

183. Плоскости α и β пересекаются по прямой а и перпендикулярны к плоскости γ. Докажите, что прямая а перпендикулярна к плоскости γ.

Для доказательства утверждения, что прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\gamma$, используем прямое доказательство, основанное на свойствах перпендикулярных плоскостей.

По условию задачи имеем:
1. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $a$ ($a = \alpha \cap \beta$).
2. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $\gamma$ ($\alpha \perp \gamma$).
3. Плоскость $\beta$ перпендикулярна плоскости $\gamma$ ($\beta \perp \gamma$).

Выберем на прямой $a$ произвольную точку $M$. Поскольку прямая $a$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, точка $M$ принадлежит обеим этим плоскостям: $M \in \alpha$ и $M \in \beta$.

Из точки $M$ опустим перпендикуляр $p$ на плоскость $\gamma$. Согласно теореме о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости, такая прямая $p$ существует и она единственна. По построению, $p \perp \gamma$.

Теперь воспользуемся свойством взаимно перпендикулярных плоскостей, которое гласит: если из точки, принадлежащей одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей, опущен перпендикуляр на вторую плоскость, то он полностью лежит в первой плоскости.

Применим это свойство к паре плоскостей $\alpha$ и $\gamma$. Так как $\alpha \perp \gamma$ и точка $M$ принадлежит плоскости $\alpha$, то перпендикуляр $p$, опущенный из точки $M$ на плоскость $\gamma$, должен лежать в плоскости $\alpha$. То есть, $p \subset \alpha$.

Аналогично применим это свойство к паре плоскостей $\beta$ и $\gamma$. Так как $\beta \perp \gamma$ и точка $M$ принадлежит плоскости $\beta$, то тот же самый перпендикуляр $p$ должен лежать и в плоскости $\beta$. То есть, $p \subset \beta$.

Мы получили, что прямая $p$ одновременно принадлежит и плоскости $\alpha$, и плоскости $\beta$. Следовательно, прямая $p$ является линией их пересечения. По условию, линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ является прямая $a$.

Поскольку через точку $M$ проходит единственная линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, прямые $a$ и $p$ должны совпадать: $a = p$.

Так как прямая $p$ по построению перпендикулярна плоскости $\gamma$ ($p \perp \gamma$), а прямая $a$ совпадает с прямой $p$, то и прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\gamma$ ($a \perp \gamma$).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Прямая $a$, являющаяся линией пересечения двух плоскостей $\alpha$ и $\beta$, каждая из которых перпендикулярна плоскости $\gamma$, также перпендикулярна плоскости $\gamma$.

184. Общая сторона AB треугольников ABC и ABD равна 10 см. Плоскости этих треугольников взаимно перпендикулярны. Найдите CD, если треугольники: а) равносторонние; б) прямоугольные равнобедренные с гипотенузой AB.

Пусть плоскость треугольника $ABC$ - это плоскость $\alpha$, а плоскость треугольника $ABD$ - это плоскость $\beta$. По условию задачи, $\alpha \perp \beta$. Линией пересечения этих плоскостей является их общая сторона $AB$.

Для нахождения расстояния $CD$ рассмотрим пространственную фигуру, образованную точками $A, B, C, D$. Удобно построить вспомогательный треугольник, стороной которого является искомый отрезок $CD$.

По условию, треугольники $ABC$ и $ABD$ являются равносторонними. Это означает, что все их стороны равны $AB = 10$ см.

Проведем в треугольнике $ABC$ высоту $CH$ к стороне $AB$. В равностороннем треугольнике высота является также и медианой, поэтому точка $H$ - это середина стороны $AB$. Длину высоты равностороннего треугольника со стороной $a$ можно вычислить по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Для $\triangle ABC$ имеем: $CH = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ см.

Аналогично, проведем в треугольнике $ABD$ высоту $DH$ к стороне $AB$. Так как $\triangle ABD$ также равносторонний, его высота $DH$ тоже является медианой и падает в ту же точку $H$ - середину $AB$. Ее длина: $DH = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $CDH$. Отрезок $CH$ лежит в плоскости $\alpha$ и перпендикулярен линии пересечения $AB$. Отрезок $DH$ лежит в плоскости $\beta$ и также перпендикулярен $AB$ в той же точке $H$. Угол между такими отрезками равен линейному углу двугранного угла между плоскостями $\alpha$ и $\beta$. Так как плоскости взаимно перпендикулярны, угол между $CH$ и $DH$ равен $90^\circ$.

Следовательно, $\triangle CDH$ - прямоугольный с прямым углом при вершине $H$. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $CD$: $CD^2 = CH^2 + DH^2$ $CD^2 = (5\sqrt{3})^2 + (5\sqrt{3})^2 = (25 \cdot 3) + (25 \cdot 3) = 75 + 75 = 150$ $CD = \sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = 5\sqrt{6}$ см.

Ответ: $5\sqrt{6}$ см.

По условию, треугольники $ABC$ и $ABD$ являются прямоугольными равнобедренными с общей гипотенузой $AB=10$ см. Прямые углы находятся при вершинах $C$ и $D$ соответственно.

Проведем в треугольнике $ABC$ высоту $CH$ из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, является также и медианой. Следовательно, точка $H$ - середина гипотенузы $AB$. Длина медианы, проведенной к гипотенузе, равна половине гипотенузы. $CH = \frac{1}{2}AB = \frac{10}{2} = 5$ см.

Аналогично, для прямоугольного равнобедренного треугольника $ABD$ высота (и медиана) $DH$, проведенная из вершины прямого угла $D$ к гипотенузе $AB$, также падает в середину $AB$, точку $H$, и ее длина равна: $DH = \frac{1}{2}AB = \frac{10}{2} = 5$ см.

Как и в случае а), отрезки $CH$ и $DH$ перпендикулярны общей прямой $AB$ в точке $H$. Поскольку они лежат во взаимно перпендикулярных плоскостях, угол между ними равен $90^\circ$. Таким образом, треугольник $CDH$ является прямоугольным с катетами $CH$ и $DH$.

Применим теорему Пифагора к $\triangle CDH$: $CD^2 = CH^2 + DH^2$ $CD^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$ $CD = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ см.

Ответ: $5\sqrt{2}$ см.

185. Прямая a не перпендикулярна к плоскости α. Докажите, что существует плоскость, проходящая через прямую а и перпендикулярная к плоскости α.

Решение

Через произвольную точку М прямой а проведём прямую р, перпендикулярную к плоскости α, и рассмотрим плоскость β, проходящую через прямые а и р. Плоскость β является искомой, так как она проходит через прямую а и по признаку перпендикулярности двух плоскостей перпендикулярна к плоскости α.

Решение:

Пусть нам даны прямая $a$ и плоскость $\alpha$, причём прямая $a$ не перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($a \not\perp \alpha$). Требуется доказать, что существует плоскость $\beta$, которая проходит через прямую $a$ и одновременно перпендикулярна плоскости $\alpha$.

Доказательство проведём методом построения.

1. Выберем на прямой $a$ произвольную точку $M$. Согласно аксиоме принадлежности, на любой прямой лежат точки, так что $M \in a$.

2. Через точку $M$ проведём прямую $p$, перпендикулярную плоскости $\alpha$. Согласно теореме о существовании и единственности прямой, перпендикулярной к плоскости, через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости. Таким образом, мы построили прямую $p$ такую, что $M \in p$ и $p \perp \alpha$.

3. Прямые $a$ и $p$ пересекаются в точке $M$. Так как по условию $a \not\perp \alpha$, а по построению $p \perp \alpha$, то прямые $a$ и $p$ не совпадают. Две различные пересекающиеся прямые однозначно определяют плоскость. Проведём через прямые $a$ и $p$ плоскость $\beta$.

4. Проверим, является ли плоскость $\beta$ искомой.

• По построению, прямая $a$ лежит в плоскости $\beta$ ($a \subset \beta$). Первое условие выполнено.
• Теперь докажем, что $\beta \perp \alpha$. Воспользуемся признаком перпендикулярности двух плоскостей: если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

В нашем случае плоскость $\beta$ проходит через прямую $p$ ($p \subset \beta$), которая по построению перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($p \perp \alpha$). Следовательно, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскость $\beta$ перпендикулярна плоскости $\alpha$. Второе условие также выполнено.

Мы построили плоскость $\beta$, которая проходит через прямую $a$ и перпендикулярна плоскости $\alpha$. Таким образом, существование такой плоскости доказано. Что и требовалось доказать.

Ответ: Существование такой плоскости доказано. Алгоритм построения и доказательства заключается в следующем: через произвольную точку на данной прямой $a$ проводится прямая $p$, перпендикулярная данной плоскости $\alpha$. Плоскость $\beta$, проходящая через две пересекающиеся прямые $a$ и $p$, является искомой, так как она содержит прямую $a$ и перпендикулярна плоскости $\alpha$ по признаку перпендикулярности плоскостей.

186. Докажите, что существует, и притом только одна, прямая, пересекающая две данные скрещивающиеся прямые а и b и перпендикулярная к каждой из них.

Решение

Рассмотрим плоскость α, проходящую через прямую а и параллельную прямой b. Через прямые а и b проведём плоскости β и γ так, чтобы β ⊥ α и γ ⊥ α (задача 185). Докажите самостоятельно, что прямая р, по которой пересекаются плоскости β и γ, искомая. Докажем, что р — единственная прямая, удовлетворяющая условию задачи. Предположим, что существуют две прямые А₁В₁ и А₂В₂, пересекающие данные скрещивающиеся прямые а и b и перпендикулярные к каждой из них (рис. 68). Прямые А₁В₁ и А₂В₂ перпендикулярны к плоскости α (объясните почему), поэтому они параллельны. Отсюда следует, что скрещивающиеся прямые а и b лежат в одной плоскости, что противоречит определению скрещивающихся прямых.

Задача состоит в том, чтобы доказать существование и единственность общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым. Доказательство разобьём на две части: доказательство существования и доказательство единственности.

Существование

Пусть даны две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$. Нам нужно доказать, что существует прямая $p$, которая пересекает обе прямые $a$ и $b$ и перпендикулярна каждой из них.

1. Построим плоскость $\alpha$, проходящую через прямую $a$ и параллельную прямой $b$. Для этого через произвольную точку на прямой $a$ проведём прямую $b'$, параллельную прямой $b$. Две пересекающиеся прямые $a$ и $b'$ определяют единственную плоскость $\alpha$. По построению, прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), и так как $b' \subset \alpha$ и $b' \parallel b$, то прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$ ($b \parallel \alpha$).

2. Теперь построим плоскость $\gamma$, которая проходит через прямую $b$ и перпендикулярна плоскости $\alpha$. Для этого из произвольной точки на прямой $b$ опустим перпендикуляр на плоскость $\alpha$. Прямая $b$ и этот перпендикуляр определяют плоскость $\gamma$. Так как плоскость $\gamma$ содержит прямую, перпендикулярную плоскости $\alpha$, то $\gamma \perp \alpha$. По построению, $b \subset \gamma$.

3. Две непараллельные плоскости $\alpha$ и $\gamma$ пересекаются по прямой. Обозначим эту прямую $a'$. Таким образом, $a' = \alpha \cap \gamma$.

4. Прямые $a$ и $a'$ обе лежат в плоскости $\alpha$. Они не могут быть параллельны. Если бы $a \parallel a'$, то, поскольку $a'$ является ортогональной проекцией прямой $b$ на плоскость $\alpha$ (так как $b \parallel \alpha$ и $\gamma \perp \alpha$), то было бы $b \parallel a'$. Тогда $a \parallel a' \parallel b$, что означало бы, что прямые $a$ и $b$ параллельны, а это противоречит условию, что они скрещивающиеся. Следовательно, прямые $a$ и $a'$ пересекаются в некоторой точке, назовем её $A_1$.

5. В плоскости $\gamma$ через точку $A_1$ (которая лежит на линии пересечения $a'$, а значит, и в плоскости $\gamma$) проведём прямую $p$, перпендикулярную прямой $a'$.

6. Докажем, что построенная прямая $p$ является искомым общим перпендикуляром.

- Прямая $p$ пересекает прямую $a$ в точке $A_1$ по построению.

- Прямая $p$ перпендикулярна плоскости $\alpha$. Это следует из того, что $p \subset \gamma$, $\gamma \perp \alpha$ и $p \perp a'$, где $a'$ — линия пересечения плоскостей. По теореме о перпендикулярности прямой к плоскости, $p \perp \alpha$.

- Поскольку $p \perp \alpha$ и $a \subset \alpha$, то $p \perp a$.

- Поскольку $a'$ является проекцией $b$ на $\alpha$, то $a' \parallel b$. Так как по построению $p \perp a'$, то $p \perp b$.

- Прямые $p$ и $b$ лежат в одной плоскости $\gamma$. Так как они перпендикулярны ($p \perp b$), они не параллельны, а значит, пересекаются в некоторой точке $B_1$.

Таким образом, мы построили прямую $p = A_1B_1$, которая пересекает прямые $a$ и $b$ и перпендикулярна им обеим. Существование доказано.

Ответ: Доказано, что для двух скрещивающихся прямых существует прямая, их пересекающая и перпендикулярная им обеим.

Единственность

Докажем единственность общего перпендикуляра методом от противного. Предположим, что существуют две различные прямые $p_1 = A_1B_1$ и $p_2 = A_2B_2$, которые удовлетворяют условию задачи. То есть $A_1, A_2 \in a$, $B_1, B_2 \in b$, и при этом $p_1 \perp a$, $p_1 \perp b$, $p_2 \perp a$, $p_2 \perp b$.

1. Как и в доказательстве существования, рассмотрим плоскость $\alpha$, проходящую через прямую $a$ и параллельную прямой $b$ ($a \subset \alpha$, $b \parallel \alpha$). В плоскости $\alpha$ существует прямая $b'$, такая что $b' \parallel b$. Прямые $a$ и $b'$ пересекаются.

2. Рассмотрим прямую $p_1$. По предположению, $p_1 \perp a$. Также $p_1 \perp b$, а так как $b \parallel b'$, то $p_1 \perp b'$. Прямая $p_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($a$ и $b'$) в плоскости $\alpha$. Следовательно, прямая $p_1$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($p_1 \perp \alpha$).

3. Аналогичные рассуждения показывают, что и прямая $p_2$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($p_2 \perp \alpha$).

4. Две прямые ($p_1$ и $p_2$), перпендикулярные одной и той же плоскости ($\alpha$), параллельны друг другу ($p_1 \parallel p_2$).

5. Так как прямые $p_1$ и $p_2$ параллельны, они лежат в одной плоскости, назовём её $\pi$.

6. Прямая $a$ проходит через точки $A_1$ (на $p_1$) и $A_2$ (на $p_2$). Так как $p_1 \subset \pi$ и $p_2 \subset \pi$, то точки $A_1$ и $A_2$ лежат в плоскости $\pi$. Поскольку прямые $p_1$ и $p_2$ разные, точки $A_1$ и $A_2$ не совпадают. Значит, вся прямая $a$ лежит в плоскости $\pi$.

7. Аналогично, прямая $b$ проходит через точки $B_1$ (на $p_1$) и $B_2$ (на $p_2$), а значит, вся прямая $b$ также лежит в плоскости $\pi$.

8. Мы пришли к выводу, что скрещивающиеся по условию прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости $\pi$. Это является противоречием определению скрещивающихся прямых.

9. Противоречие возникло из-за предположения о существовании двух различных общих перпендикуляров. Следовательно, это предположение неверно, и общий перпендикуляр может быть только один.

Ответ: Доказано, что общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым единственен.

187. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны: а) 1, 1, 2; б) 8, 9, 12; в) 39, 7, 9.

Для нахождения диагонали прямоугольного параллелепипеда используется формула, которая является следствием теоремы Пифагора в трехмерном пространстве. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины и высоты).

Формула для вычисления диагонали $d$ с измерениями $a$, $b$ и $c$: $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

а)

Даны измерения: $a = 1$, $b = 1$, $c = 2$. Подставляем эти значения в формулу: $d = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2}$ $d = \sqrt{1 + 1 + 4}$ $d = \sqrt{6}$

Ответ: $\sqrt{6}$.

б)

Даны измерения: $a = 8$, $b = 9$, $c = 12$. Подставляем эти значения в формулу: $d = \sqrt{8^2 + 9^2 + 12^2}$ $d = \sqrt{64 + 81 + 144}$ $d = \sqrt{289}$ $d = 17$

Ответ: $17$.

в)

Даны измерения: $a = \sqrt{39}$, $b = 7$, $c = 9$. Подставляем эти значения в формулу: $d = \sqrt{(\sqrt{39})^2 + 7^2 + 9^2}$ $d = \sqrt{39 + 49 + 81}$ $d = \sqrt{169}$ $d = 13$

Ответ: $13$.

188. Ребро куба равно а. Найдите диагональ куба.

Для нахождения диагонали куба $d$ с ребром $a$, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора. Решение можно разбить на два шага.

Сначала найдем длину диагонали любой грани куба. Грань куба представляет собой квадрат со стороной $a$. Диагональ грани (обозначим ее $d_{гр}$) является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого служат два ребра куба длиной $a$. По теореме Пифагора:

$d_{гр}^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

Следовательно, длина диагонали грани равна:

$d_{гр} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, который образован диагональю куба $d$, диагональю грани $d_{гр}$ и ребром куба $a$. В этом треугольнике диагональ куба $d$ является гипотенузой, а диагональ грани $d_{гр}$ и ребро $a$ — катетами. Снова применяем теорему Пифагора:

$d^2 = d_{гр}^2 + a^2$

Подставим найденное ранее значение $d_{гр}^2$:

$d^2 = (2a^2) + a^2 = 3a^2$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем длину диагонали куба:

$d = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Ответ: $a\sqrt{3}$

189. Найдите расстояние от вершины куба до плоскости любой грани, в которой не лежит эта вершина, если: а) диагональ грани куба равна m; б) диагональ куба равна d.

Расстояние от вершины куба до плоскости любой грани, в которой эта вершина не лежит, равно длине ребра этого куба. Это следует из того, что ребро, соединяющее данную вершину с одной из вершин противолежащей грани, перпендикулярно этой грани. Обозначим длину ребра куба как $a$. Таким образом, задача сводится к нахождению $a$ в каждом из случаев.

а) Пусть диагональ грани куба равна $m$. Грань куба — это квадрат со стороной $a$. Диагональ грани является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого служат два ребра куба. По теореме Пифагора:
$a^2 + a^2 = m^2$
$2a^2 = m^2$
Выразим отсюда $a$:
$a = \sqrt{\frac{m^2}{2}} = \frac{m}{\sqrt{2}} = \frac{m\sqrt{2}}{2}$
Искомое расстояние равно $a$.
Ответ: $\frac{m\sqrt{2}}{2}$

б) Пусть диагональ куба равна $d$. Квадрат диагонали куба равен сумме квадратов трёх его измерений (длины, ширины и высоты). Для куба все измерения равны $a$, поэтому:
$d^2 = a^2 + a^2 + a^2$
$d^2 = 3a^2$
Выразим отсюда $a$:
$a = \sqrt{\frac{d^2}{3}} = \frac{d}{\sqrt{3}} = \frac{d\sqrt{3}}{3}$
Искомое расстояние равно $a$.
Ответ: $\frac{d\sqrt{3}}{3}$

190. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите следующие двугранные углы: а) ABВ₁С; б) ADD₁B; в) А₁ВB₁K, где K — середина ребра A₁D₁.

а) Двугранный угол, обозначенный как $ABB_1C$, образован плоскостями, проходящими через точки $(A, B, B_1)$ и $(C, B, B_1)$. Эти плоскости являются гранями куба. Плоскость $(ABB_1)$ — это передняя грань куба $(ABB_1A_1)$. Плоскость $(CBB_1)$ — это правая боковая грань куба $(BCC_1B_1)$. Линией пересечения этих двух плоскостей является ребро $BB_1$.
Для нахождения величины двугранного угла построим его линейный угол. Для этого в каждой из плоскостей проведем перпендикуляры к линии их пересечения $BB_1$ из одной точки. Выберем точку $B_1$ на ребре $BB_1$.
В плоскости передней грани $(ABB_1A_1)$ ребро $A_1B_1$ перпендикулярно ребру $BB_1$, так как грань является квадратом.
В плоскости правой грани $(BCC_1B_1)$ ребро $C_1B_1$ перпендикулярно ребру $BB_1$ по той же причине.
Следовательно, линейным углом данного двугранного угла является угол $\angle A_1B_1C_1$.
Угол $\angle A_1B_1C_1$ является углом верхней грани-квадрата $A_1B_1C_1D_1$, поэтому его величина составляет $90^{\circ}$.
Ответ: $90^{\circ}$.

б) Двугранный угол $ADD_1B$ образован плоскостью грани $(ADD_1A_1)$ и диагональной плоскостью $(BDD_1B_1)$.
Линией пересечения этих плоскостей является ребро $DD_1$.
Для построения линейного угла выберем точку $D$ на ребре $DD_1$.
В плоскости левой грани $(ADD_1A_1)$ ребро $AD$ перпендикулярно ребру $DD_1$ ($AD \perp DD_1$).
В диагональной плоскости $(BDD_1B_1)$ диагональ основания $BD$ перпендикулярна ребру $DD_1$, так как ребро $DD_1$ перпендикулярно всей плоскости основания $(ABCD)$, в которой лежит $BD$ ($BD \perp DD_1$).
Следовательно, линейным углом двугранного угла является угол $\angle ADB$.
Рассмотрим треугольник $ABD$, который лежит в плоскости основания $ABCD$. Так как $ABCD$ — квадрат, то $\angle DAB = 90^{\circ}$, а катеты $AD$ и $AB$ равны ребру куба. Пусть ребро куба равно $a$.
В прямоугольном треугольнике $ABD$ тангенс угла $\angle ADB$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
$\tan(\angle ADB) = \frac{AB}{AD} = \frac{a}{a} = 1$.
Отсюда, $\angle ADB = 45^{\circ}$.
Ответ: $45^{\circ}$.

в) Двугранный угол $A_1BB_1K$ образован плоскостью передней грани $(A_1B_1BA)$ и плоскостью $(KBB_1)$, где $K$ — середина ребра $A_1D_1$.
Линией пересечения этих плоскостей является ребро $BB_1$.
Для построения линейного угла выберем точку $B_1$ на ребре $BB_1$.
В плоскости передней грани $(A_1B_1BA)$ ребро $A_1B_1$ перпендикулярно $BB_1$ ($A_1B_1 \perp BB_1$).
В плоскости $(KBB_1)$ рассмотрим отрезок $KB_1$. Этот отрезок лежит в плоскости верхней грани $(A_1B_1C_1D_1)$. Ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости верхней грани, а значит, перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и $KB_1$ ($KB_1 \perp BB_1$).
Следовательно, линейным углом двугранного угла является угол $\angle A_1B_1K$.
Этот угол находится в плоскости верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Рассмотрим треугольник $A_1B_1K$. Он прямоугольный, так как $\angle D_1A_1B_1 = 90^{\circ}$.
Пусть ребро куба равно $a$. Тогда катет $A_1B_1 = a$.
Точка $K$ — середина $A_1D_1$, значит, катет $A_1K = \frac{A_1D_1}{2} = \frac{a}{2}$.
Тангенс угла $\angle A_1B_1K$ в прямоугольном треугольнике $A_1B_1K$ равен:
$\tan(\angle A_1B_1K) = \frac{A_1K}{A_1B_1} = \frac{a/2}{a} = \frac{1}{2}$.
Искомый угол равен $\arctan(\frac{1}{2})$.
Ответ: $\arctan(\frac{1}{2})$.

191. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Докажите, что плоскости ABC₁ и A₁B₁D перпендикулярны.

Доказательство:

Для доказательства перпендикулярности двух плоскостей достаточно показать, что одна из плоскостей содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости. Докажем, что прямая $AD_1$, которая лежит в плоскости $(ABC_1)$, перпендикулярна плоскости $(A_1B_1D)$.

По определению, прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Найдем две такие прямые в плоскости $(A_1B_1D)$ и докажем их перпендикулярность к $AD_1$.

Плоскость $(A_1B_1D)$ задана тремя точками $A_1$, $B_1$ и $D$. Поскольку $A_1B_1C_1D_1$ и $ABCD$ — параллельные грани куба, а ребра $A_1B_1$ и $DC$ параллельны и равны по длине, то четырехугольник $A_1B_1CD$ является параллелограммом (и даже прямоугольником). Это означает, что точка $C$ также лежит в плоскости $(A_1B_1D)$. Таким образом, прямые $A_1D$ и $CD$ принадлежат плоскости $(A_1B_1D)$.

1. Докажем, что $AD_1 \perp A_1D$.
Прямые $AD_1$ и $A_1D$ являются диагоналями грани $AA_1D_1D$. Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, его грань $AA_1D_1D$ является квадратом. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, следовательно, $AD_1 \perp A_1D$.

2. Докажем, что $AD_1 \perp CD$.
Ребро $CD$ перпендикулярно плоскости грани $AA_1D_1D$, так как оно перпендикулярно двум пересекающимся прямым в этой плоскости: $CD \perp AD$ (как стороны квадрата $ABCD$) и $CD \perp DD_1$ (так как ребро $DD_1$ перпендикулярно основанию $ABCD$). Поскольку прямая $CD$ перпендикулярна плоскости $AA_1D_1D$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая $AD_1$ лежит в плоскости $AA_1D_1D$. Следовательно, $CD \perp AD_1$.

Таким образом, мы показали, что прямая $AD_1$ перпендикулярна двум прямым, $A_1D$ и $CD$, которые лежат в плоскости $(A_1B_1D)$ и пересекаются в точке $D$. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AD_1$ перпендикулярна плоскости $(A_1B_1D)$.

Прямая $AD_1$ лежит в плоскости $(ABC_1)$, так как точки $A$ и $D_1$ принадлежат этой плоскости (четырехугольник $ABC_1D_1$ является прямоугольником, поэтому его вершины лежат в одной плоскости).

Поскольку плоскость $(ABC_1)$ содержит прямую $AD_1$, перпендикулярную плоскости $(A_1B_1D)$, то по признаку перпендикулярности двух плоскостей, плоскости $(ABC_1)$ и $(A_1B_1D)$ перпендикулярны.

Ответ: Плоскости $ABC_1$ и $A_1B_1D$ перпендикулярны, что и требовалось доказать.