Страница 62 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

208. Из точки K, удалённой от плоскости α на 9 см, проведены к плоскости α наклонные KL и KМ, образующие между собой прямой угол, а с плоскостью α — углы в 45° и 30° соответственно. Найдите отрезок LM.

Пусть $H$ — это проекция точки $K$ на плоскость $?$. Тогда отрезок $KH$ является перпендикуляром к плоскости $?$, и его длина равна расстоянию от точки $K$ до плоскости, то есть $KH = 9$ см.

Отрезки $KL$ и $KM$ — это наклонные, проведенные из точки $K$ к плоскости $?$. Отрезки $HL$ и $HM$ являются их проекциями на эту плоскость.

Угол между наклонной и плоскостью — это угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость. Таким образом, по условию задачи, угол между наклонной $KL$ и её проекцией $HL$ равен $45°$ ($?KLH = 45°$), а угол между наклонной $KM$ и её проекцией $HM$ равен $30°$ ($?KMH = 30°$).

Так как $KH$ перпендикулярен плоскости $?$, он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $H$. Следовательно, треугольники $?KHL$ и $?KHM$ — прямоугольные с прямыми углами при вершине $H$.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $?KHL$. В нём известен катет $KH = 9$ см и противолежащий ему угол $?KLH = 45°$. Найдём длину гипотенузы (наклонной) $KL$:$KL = \frac{KH}{sin(?KLH)} = \frac{9}{sin(45°)} = \frac{9}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{18}{\sqrt{2}} = 9\sqrt{2}$ см.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $?KHM$. В нём известен катет $KH = 9$ см и противолежащий ему угол $?KMH = 30°$. Найдём длину гипотенузы (наклонной) $KM$:$KM = \frac{KH}{sin(?KMH)} = \frac{9}{sin(30°)} = \frac{9}{\frac{1}{2}} = 18$ см.

3. По условию, наклонные $KL$ и $KM$ образуют между собой прямой угол, то есть $?LKM = 90°$. Это означает, что треугольник $?LKM$ является прямоугольным, где $KL$ и $KM$ — катеты, а искомый отрезок $LM$ — гипотенуза.

Применим теорему Пифагора для треугольника $?LKM$:$LM^2 = KL^2 + KM^2$

Подставим найденные значения длин $KL$ и $KM$:$LM^2 = (9\sqrt{2})^2 + 18^2 = (81 \cdot 2) + 324 = 162 + 324 = 486$

Теперь найдём длину $LM$:$LM = \sqrt{486} = \sqrt{81 \cdot 6} = 9\sqrt{6}$ см.

Ответ: $9\sqrt{6}$ см.

209. Углы между равными отрезками AB и АС и плоскостью α, проходящей через точку А, равны соответственно 40° и 50°. Сравните расстояния от точек В и С до плоскости α.

Пусть $d_B$ — расстояние от точки B до плоскости $\alpha$, а $d_C$ — расстояние от точки C до плоскости $\alpha$.

Расстояние от точки до плоскости определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Опустим перпендикуляры $BB'$ и $CC'$ из точек B и C на плоскость $\alpha$. Таким образом, $d_B = BB'$ и $d_C = CC'$.

Углом между наклонной (в нашем случае, отрезком) и плоскостью называется угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость. Поскольку точка A принадлежит плоскости $\alpha$, проекцией отрезка AB на плоскость $\alpha$ будет отрезок $AB'$, а проекцией отрезка AC будет отрезок $AC'$.

Следовательно, по определению:

• Угол между отрезком AB и плоскостью $\alpha$ — это угол $\angle BAB'$, который по условию равен $40^\circ$.
• Угол между отрезком AC и плоскостью $\alpha$ — это угол $\angle CAC'$, который по условию равен $50^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABB'$ (угол $\angle AB'B = 90^\circ$, так как $BB'$ — перпендикуляр к плоскости). В этом треугольнике катет $BB'$ (расстояние от точки B до плоскости) можно выразить через гипотенузу AB и синус противолежащего угла $\angle BAB'$:
$d_B = BB' = AB \cdot \sin(\angle BAB') = AB \cdot \sin(40^\circ)$.

Аналогично рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACC'$ (угол $\angle AC'C = 90^\circ$, так как $CC'$ — перпендикуляр к плоскости). Катет $CC'$ (расстояние от точки C до плоскости) выражается через гипотенузу AC и синус противолежащего угла $\angle CAC'$:
$d_C = CC' = AC \cdot \sin(\angle CAC') = AC \cdot \sin(50^\circ)$.

По условию задачи отрезки AB и AC равны: $AB = AC$. Обозначим их длину буквой $L$.
Тогда получаем:
$d_B = L \cdot \sin(40^\circ)$
$d_C = L \cdot \sin(50^\circ)$

Для сравнения расстояний $d_B$ и $d_C$ необходимо сравнить значения $\sin(40^\circ)$ и $\sin(50^\circ)$. Функция $y = \sin(x)$ является возрастающей на интервале от $0^\circ$ до $90^\circ$. Поскольку $0^\circ < 40^\circ < 50^\circ < 90^\circ$, то справедливо неравенство:
$\sin(40^\circ) < \sin(50^\circ)$

Так как длина отрезков $L$ является положительной величиной ($L > 0$), мы можем умножить обе части неравенства на $L$, не меняя знака неравенства:
$L \cdot \sin(40^\circ) < L \cdot \sin(50^\circ)$
Отсюда следует, что $d_B < d_C$.

Ответ: Расстояние от точки B до плоскости $\alpha$ меньше, чем расстояние от точки C до плоскости $\alpha$.

210. На рисунке 69 двугранные углы НABP и PABQ равны. Докажите, что каждая точка плоскости ABP равноудалена от плоскостей ABH и ABQ.

По условию задачи, двугранные углы HABP и PABQ равны. Двугранный угол HABP образован плоскостями ABH и ABP с общим ребром AB. Двугранный угол PABQ образован плоскостями ABP и ABQ с тем же общим ребром AB.

Равенство этих двугранных углов означает, что плоскость ABP является биссекторной плоскостью для двугранного угла, образованного плоскостями ABH и ABQ. По свойству биссекторной плоскости, каждая ее точка равноудалена от граней двугранного угла (в данном случае, от плоскостей ABH и ABQ). Докажем это утверждение строго.

Выберем произвольную точку $M$ в плоскости ABP. Нам необходимо доказать, что расстояние от точки $M$ до плоскости ABH равно расстоянию от $M$ до плоскости ABQ.

1. Проведем из точки $M$ перпендикуляр $MO$ к прямой $AB$. Точка $O$ будет лежать на прямой $AB$.

2. Через точку $O$ проведем плоскость $\Sigma$, перпендикулярную прямой $AB$. Прямая $MO$ лежит в этой плоскости $\Sigma$, так как $MO \perp AB$.

3. Построим линейные углы для наших двугранных углов. Для этого проведем в плоскости ABH луч $OH_1$ перпендикулярно $AB$ и в плоскости ABQ луч $OQ_1$ перпендикулярно $AB$. Оба луча, $OH_1$ и $OQ_1$, лежат в плоскости $\Sigma$.

4. Луч $OM$ также лежит в плоскости $\Sigma$. Угол $\angle H_1OM$ является линейным углом двугранного угла HABP. Угол $\angle MOQ_1$ является линейным углом двугранного угла PABQ.

5. По условию, двугранные углы равны, следовательно, равны и их линейные углы: $\angle H_1OM = \angle MOQ_1$. Это означает, что луч $OM$ является биссектрисой угла $\angle H_1OQ_1$.

6. Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

7. Опустим из точки $M$ перпендикуляр $MH'$ на прямую $OH_1$. Так как $MH'$ лежит в плоскости $\Sigma$ и $\Sigma \perp AB$, то $MH' \perp AB$. Поскольку $MH'$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым ($OH_1$ и $AB$) в плоскости ABH, то $MH'$ является перпендикуляром ко всей плоскости ABH. Длина $MH'$ — это искомое расстояние от $M$ до плоскости ABH.

8. Аналогично, опустим из $M$ перпендикуляр $MQ'$ на прямую $OQ_1$. $MQ'$ будет перпендикуляром к плоскости ABQ, и его длина — это расстояние от $M$ до этой плоскости.

9. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OMH'$ и $\triangle OMQ'$ в плоскости $\Sigma$. Они имеют общую гипотенузу $OM$ и равные острые углы ($\angle MOH_1 = \angle MOQ_1$, так как $OM$ — биссектриса угла $\angle H_1OQ_1$). Следовательно, треугольники $\triangle OMH'$ и $\triangle OMQ'$ равны по гипотенузе и острому углу.

10. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих катетов: $MH' = MQ'$.

Так как точка $M$ была выбрана произвольно в плоскости ABP, мы доказали, что любая точка этой плоскости равноудалена от плоскостей ABH и ABQ.

Ответ: Доказано.

211. Плоскости правильного треугольника KDM и квадрата KMNP взаимно перпендикулярны. Найдите DN, если KМ = а.

По условию задачи, плоскость правильного треугольника $KDM$ и плоскость квадрата $KMNP$ взаимно перпендикулярны. Они имеют общую сторону $KM$, длина которой равна $a$.

Рассмотрим треугольник $KDM$. Так как он правильный (равносторонний), все его стороны равны $a$: $KD = DM = KM = a$. Проведем в нем высоту $DH$ к стороне $KM$. В равностороннем треугольнике высота является также медианой, поэтому точка $H$ — середина отрезка $KM$. Длину высоты $DH$ можно вычислить по формуле для высоты равностороннего треугольника со стороной $a$:

$DH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Поскольку плоскости $(KDM)$ и $(KMNP)$ перпендикулярны, а прямая $DH$ лежит в плоскости $(KDM)$ и перпендикулярна их линии пересечения $KM$ (так как $DH$ - высота), то $DH$ перпендикулярна всей плоскости квадрата $(KMNP)$.

Следовательно, прямая $DH$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости квадрата, в том числе и прямой $HN$. Таким образом, треугольник $DHN$ является прямоугольным с прямым углом $\angle DHN = 90^\circ$.

Чтобы найти гипотенузу $DN$ прямоугольного треугольника $DHN$, нам нужно найти длину второго катета $HN$. Точки $H$, $M$, $N$ лежат в плоскости квадрата $KMNP$. Рассмотрим треугольник $HMN$. Так как $KMNP$ — квадрат, угол $\angle KMN = 90^\circ$. Мы знаем, что $HM = \frac{1}{2} KM = \frac{a}{2}$ (поскольку $H$ — середина $KM$) и $MN = a$ (как сторона квадрата). По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $HMN$:

$HN^2 = HM^2 + MN^2 = (\frac{a}{2})^2 + a^2 = \frac{a^2}{4} + a^2 = \frac{a^2 + 4a^2}{4} = \frac{5a^2}{4}$

Теперь, зная квадраты длин обоих катетов треугольника $DHN$, можем найти квадрат его гипотенузы $DN$ по теореме Пифагора:

$DN^2 = DH^2 + HN^2$

$DN^2 = (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + \frac{5a^2}{4} = \frac{3a^2}{4} + \frac{5a^2}{4} = \frac{8a^2}{4} = 2a^2$

Из этого следует, что длина отрезка $DN$ равна:

$DN = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Ответ: $a\sqrt{2}$.

212. Точка С является проекцией точки D на плоскость треугольника ABC. Докажите, что площадь треугольника ABD равна $\frac{S}{\cos \alpha }$, где S — площадь треугольника ABC, a α — угол между плоскостями ABC и ABD.

Данная задача решается с помощью теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника. Однако, для полноты решения, приведем доказательство, основанное на базовых принципах стереометрии.

Пусть $AB$ — общая сторона треугольников $ABC$ и $ABD$. Эта прямая является линией пересечения плоскостей $(ABC)$ и $(ABD)$. По условию, угол между этими плоскостями (двугранный угол при ребре $AB$) равен $\alpha$.

Для измерения двугранного угла построим его линейный угол. В плоскости треугольника $ABC$ проведем из точки $C$ высоту $CH$ к стороне $AB$. По определению высоты, $CH \perp AB$.

По условию, точка $C$ является проекцией точки $D$ на плоскость $(ABC)$. Это означает, что отрезок $DC$ перпендикулярен плоскости $(ABC)$, то есть $DC \perp (ABC)$.

Теперь рассмотрим наклонную $DH$ к плоскости $(ABC)$ и ее проекцию $CH$. Так как проекция $CH$ перпендикулярна прямой $AB$, лежащей в плоскости, то по теореме о трех перпендикулярах сама наклонная $DH$ также перпендикулярна прямой $AB$ ($DH \perp AB$).

Поскольку отрезки $CH$ и $DH$ проведены в точке $H$ на прямой $AB$ и оба перпендикулярны ей, угол $\angle DHC$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABC)$ и $(ABD)$. Следовательно, $\angle DHC = \alpha$.

Рассмотрим треугольник $DCH$. Так как $DC \perp (ABC)$, то прямая $DC$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая прямую $CH$. Таким образом, треугольник $DCH$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$ ($\angle DCH = 90^\circ$).

В прямоугольном треугольнике $DCH$ по определению косинуса острого угла:$\cos \alpha = \cos(\angle DHC) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CH}{DH}$

Из этого соотношения мы можем выразить длину отрезка $DH$:$DH = \frac{CH}{\cos \alpha}$

Площадь треугольника $ABC$, обозначенная в условии как $S$, вычисляется по формуле:$S = S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$

Площадь треугольника $ABD$ (обозначим ее $S_{ABD}$) вычисляется по аналогичной формуле, где $DH$ является высотой, опущенной на сторону $AB$:$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DH$

Теперь подставим в формулу для площади $S_{ABD}$ найденное ранее выражение для $DH$:$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot \left( \frac{CH}{\cos \alpha} \right)$

Перегруппируем множители:$S_{ABD} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH}{\cos \alpha}$

Заметим, что выражение в числителе, $\frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$, есть не что иное, как площадь треугольника $ABC$, то есть $S$.Следовательно, мы получаем искомое равенство:$S_{ABD} = \frac{S}{\cos \alpha}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Площадь треугольника $ABD$ равна $\frac{S}{\cos \alpha}$.

213. Правильные треугольники ABC и DВС расположены так, что вершина D проектируется в центр треугольника ABC. Вычислите угол между плоскостями этих треугольников.

Пусть сторона правильных треугольников $ABC$ и $DBC$ равна $a$. Таким образом, $AB = BC = CA = DB = DC = a$.

Угол между двумя плоскостями определяется как угол между перпендикулярами, проведенными к их линии пересечения в одной точке. Линией пересечения плоскостей $(ABC)$ и $(DBC)$ является прямая $BC$.

Проведем в треугольнике $ABC$ высоту $AM$ к стороне $BC$. Так как треугольник $ABC$ правильный, $AM$ также является медианой, и $AM \perp BC$. Длина высоты в правильном треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле: $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Аналогично, в треугольнике $DBC$ проведем высоту $DM$ к стороне $BC$. Так как треугольник $DBC$ правильный и имеет общую сторону $BC$, его высота $DM$ также будет проведена к середине стороны $BC$, то есть к точке $M$. Таким образом, $DM \perp BC$. Длина высоты $DM$ также равна $DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

По определению, искомый двугранный угол между плоскостями $(ABC)$ и $(DBC)$ — это линейный угол, образованный лучами $MA$ и $MD$. То есть, это угол $\angle AMD$. Обозначим этот угол как $\alpha$.

По условию задачи, вершина $D$ проектируется в центр $O$ треугольника $ABC$. Это означает, что отрезок $DO$ является перпендикуляром к плоскости $(ABC)$. Следовательно, $DO \perp (ABC)$.

Поскольку отрезок $AM$ лежит в плоскости $(ABC)$ и проходит через точку $O$ (так как $AM$ - медиана, а $O$ - центр), то $DO$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через $O$, в том числе и прямой $AM$. Значит, $DO \perp AM$. Таким образом, треугольник $DOM$ является прямоугольным с прямым углом $\angle DOM$.

Точка $O$ — центр правильного треугольника $ABC$, который является точкой пересечения его медиан. Медианы в точке пересечения делятся в отношении $2:1$, считая от вершины. Значит, точка $O$ делит медиану $AM$ так, что $AO:OM = 2:1$. Отсюда следует, что $OM = \frac{1}{3} AM$.

Найдем длину отрезка $OM$: $OM = \frac{1}{3} \cdot AM = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $DOM$. В нем гипотенузой является отрезок $DM$ длиной $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, а катетом, прилежащим к углу $\alpha = \angle AMD$, является отрезок $OM$ длиной $\frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Косинус угла $\alpha$ в прямоугольном треугольнике $DOM$ равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: $\cos(\alpha) = \cos(\angle AMD) = \frac{OM}{DM}$.

Подставим известные значения длин отрезков: $\cos(\alpha) = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{2}{a\sqrt{3}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Следовательно, искомый угол $\alpha$ равен арккосинусу от $\frac{1}{3}$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{1}{3}\right)$.

214. Проекцией прямоугольника ABCD на плоскость α является квадрат ABC₁D₁. Вычислите угол φ между плоскостью α и плоскостью прямоугольника ABCD, если AB : ВС = 1 : 2.

Пусть плоскость, в которой лежит прямоугольник ABCD, называется β, а плоскость проекции — α. Угол между плоскостями β и α обозначим как φ.

По условию, проекцией прямоугольника ABCD на плоскость α является квадрат ABC?D?. Тот факт, что точки A и B при проецировании остаются на своих местах, означает, что прямая AB является линией пересечения плоскостей β и α.

Для нахождения угла между плоскостями можно воспользоваться формулой, которая связывает площадь плоской фигуры ($S$) и площадь ее ортогональной проекции ($S_{пр}$):

$S_{пр} = S \cdot \cos(\phi)$

Сначала найдем площади обеих фигур. Пусть, согласно условию $AB:BC=1:2$, сторона $AB = a$. Тогда сторона $BC = 2a$.

Площадь исходного прямоугольника ABCD равна:

$S_{ABCD} = AB \cdot BC = a \cdot 2a = 2a^2$

Проекцией является квадрат ABC?D?. Его сторона AB совпадает со стороной исходного прямоугольника, так как лежит на линии пересечения плоскостей. Следовательно, сторона квадрата равна $a$.

Площадь проекции, то есть квадрата ABC?D?, равна:

$S_{ABC_1D_1} = AB^2 = a^2$

Теперь подставим значения площадей в формулу проекции:

$a^2 = (2a^2) \cdot \cos(\phi)$

Разделив обе части на $a^2$ (так как $a \ne 0$), получим:

$1 = 2 \cdot \cos(\phi)$

$\cos(\phi) = \frac{1}{2}$

Поскольку угол между плоскостями φ по определению находится в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$, получаем единственное решение:

$\phi = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$

Задачу можно решить и другим способом, используя определение двугранного угла. Угол между плоскостями равен линейному углу двугранного угла, образованного этими плоскостями. В качестве ребра двугранного угла выступает прямая AB. В плоскости β к ребру AB перпендикулярен отрезок BC (так как ABCD — прямоугольник). В плоскости α к ребру AB перпендикулярен отрезок BC? (так как ABC?D? — квадрат). Следовательно, линейный угол двугранного угла равен углу $\angle CBC_1$. Таким образом, $\phi = \angle CBC_1$.

Рассмотрим треугольник ▵CBC?. Так как C? — это проекция точки C на плоскость α, то отрезок $CC_1$ перпендикулярен плоскости α, а значит, и любой прямой в этой плоскости, проходящей через C?. Отсюда $CC_1 \perp BC_1$, и треугольник ▵CBC? является прямоугольным с прямым углом при вершине C?.

В этом прямоугольном треугольнике гипотенузой является сторона BC, а одним из катетов — сторона BC?.

Мы знаем, что $BC = 2a$, а катет $BC_1$ является стороной квадрата, поэтому $BC_1 = AB = a$.

Найдем косинус угла $\angle CBC_1$:

$\cos(\phi) = \cos(\angle CBC_1) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC_1}{BC} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$

Это снова приводит нас к тому же результату: $\phi = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

215. Параллельные прямые AB и CD лежат в разных гранях двугранного угла, равного 60°. Точки А и D удалены от ребра двугранного угла соответственно на 8 см и 6,5 см. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

Пусть данный двугранный угол образован полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$, пересекающимися по прямой $m$ (ребро двугранного угла). По условию, угол между полуплоскостями равен $60^\circ$. В полуплоскости $\alpha$ лежит прямая $AB$, а в полуплоскости $\beta$ — прямая $CD$. Прямые $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$).

Рассмотрим плоскость $\gamma$, в которой лежат параллельные прямые $AB$ и $CD$. Эта плоскость пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $AB$, а плоскость $\beta$ — по прямой $CD$. Так как три плоскости $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ пересекаются попарно, то три линии их пересечения ($AB$, $CD$ и $m$) либо параллельны, либо пересекаются в одной точке. Поскольку по условию $AB \parallel CD$, они не могут пересекаться, следовательно, все три прямые параллельны: $AB \parallel CD \parallel m$.

Расстояние между параллельными прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Для нахождения этого расстояния построим плоскость $\Pi$, перпендикулярную ребру $m$. Так как прямые $AB$ и $CD$ параллельны ребру $m$, плоскость $\Pi$ будет также перпендикулярна и прямым $AB$ и $CD$.

Пусть плоскость $\Pi$ пересекает прямые $m$, $AB$ и $CD$ в точках $O$, $P$ и $Q$ соответственно. Отрезок $PQ$ является общим перпендикуляром к прямым $AB$ и $CD$, и его длина и есть искомое расстояние. В плоскости $\Pi$ лучи $OP$ и $OQ$ образуют угол, равный линейному углу двугранного угла, то есть $\angle POQ = 60^\circ$.

Расстояние от точки $A$ до ребра $m$ равно 8 см. Так как $AB \parallel m$, все точки прямой $AB$ удалены от ребра $m$ на 8 см. Следовательно, длина отрезка $OP$ равна 8 см. Аналогично, расстояние от точки $D$ до ребра $m$ равно 6,5 см. Так как $CD \parallel m$, все точки прямой $CD$ удалены от ребра $m$ на 6,5 см. Следовательно, длина отрезка $OQ$ равна 6,5 см.

Рассмотрим треугольник $\triangle POQ$. По теореме косинусов найдем длину стороны $PQ$ (расстояние между прямыми $AB$ и $CD$):
$|PQ|^2 = |OP|^2 + |OQ|^2 - 2 \cdot |OP| \cdot |OQ| \cdot \cos(\angle POQ)$
$|PQ|^2 = 8^2 + (6,5)^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6,5 \cdot \cos(60^\circ)$
$|PQ|^2 = 64 + 42,25 - 2 \cdot 8 \cdot 6,5 \cdot \frac{1}{2}$
$|PQ|^2 = 64 + 42,25 - 52$
$|PQ|^2 = 12 + 42,25 = 54,25$
$|PQ| = \sqrt{54,25}$ см.

Ответ: $\sqrt{54,25}$ см.

216. Точки А и В лежат на ребре данного двугранного угла, равного 120°. Отрезки АС и BD проведены в разных гранях и перпендикулярны к ребру двугранного угла. Найдите отрезок CD, если AB = AC = BD = a.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Пусть ребро двугранного угла, на котором лежат точки A и B, является прямой $l$.

1. Введение векторов и их свойств

Введем векторы, соответствующие отрезкам из условия задачи: $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$. По условию, отрезки $AC$ и $BD$ перпендикулярны ребру двугранного угла. Это означает, что векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ перпендикулярны вектору $\vec{AB}$, который направлен вдоль ребра $l$. В виде скалярного произведения это записывается как: $\vec{AC} \cdot \vec{AB} = 0$ $\vec{BD} \cdot \vec{AB} = 0$ Также из условия известны длины отрезков, которые равны модулям соответствующих векторов: $|\vec{AB}| = AB = a$ $|\vec{AC}| = AC = a$ $|\vec{BD}| = BD = a$

2. Представление вектора $\vec{CD}$

Чтобы найти длину отрезка $CD$, найдем сначала вектор $\vec{CD}$. Его можно представить в виде суммы векторов, образующих ломаную линию от точки C до точки D: $\vec{CD} = \vec{CA} + \vec{AB} + \vec{BD}$ Важно отметить, что $\vec{CA} = -\vec{AC}$.

3. Нахождение квадрата длины отрезка $CD$

Квадрат длины отрезка $CD$ равен скалярному квадрату вектора $\vec{CD}$: $CD^2 = |\vec{CD}|^2 = \vec{CD} \cdot \vec{CD} = (\vec{CA} + \vec{AB} + \vec{BD}) \cdot (\vec{CA} + \vec{AB} + \vec{BD})$ Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения: $CD^2 = \vec{CA}^2 + \vec{AB}^2 + \vec{BD}^2 + 2(\vec{CA} \cdot \vec{AB}) + 2(\vec{AB} \cdot \vec{BD}) + 2(\vec{CA} \cdot \vec{BD})$

4. Вычисление скалярных произведений

Теперь вычислим каждое слагаемое в полученном выражении. Скалярные квадраты векторов равны квадратам их длин: $\vec{CA}^2 = |\vec{AC}|^2 = a^2$; $\vec{AB}^2 = |\vec{AB}|^2 = a^2$; $\vec{BD}^2 = |\vec{BD}|^2 = a^2$. Скалярные произведения перпендикулярных векторов равны нулю: $2(\vec{CA} \cdot \vec{AB}) = 0$ (так как $AC \perp AB$) и $2(\vec{AB} \cdot \vec{BD}) = 0$ (так как $BD \perp AB$). Остается найти значение $2(\vec{CA} \cdot \vec{BD})$. $2(\vec{CA} \cdot \vec{BD}) = 2(-\vec{AC} \cdot \vec{BD})$. Скалярное произведение $\vec{AC} \cdot \vec{BD}$ по определению равно $|\vec{AC}| \cdot |\vec{BD}| \cdot \cos\varphi$, где $\varphi$ — это угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$. Отрезки $AC$ и $BD$ лежат в разных гранях и перпендикулярны ребру. Следовательно, угол между их направлениями (если совместить их начала) равен линейному углу двугранного угла, то есть $\varphi = 120^\circ$. $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = a \cdot a \cdot \cos(120^\circ) = a^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{a^2}{2}$. Подставляем это значение обратно: $2(\vec{CA} \cdot \vec{BD}) = 2\left(-\left(-\frac{a^2}{2}\right)\right) = 2\left(\frac{a^2}{2}\right) = a^2$.

5. Итоговый расчет

Соберем все вычисленные значения в единую формулу для $CD^2$: $CD^2 = a^2 + a^2 + a^2 + 0 + 0 + a^2$ $CD^2 = 4a^2$ Теперь найдем длину отрезка $CD$, извлекая квадратный корень: $CD = \sqrt{4a^2} = 2a$

Ответ: $2a$.

217. Сумма площадей трёх граней прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, равна 404 дм², а его рёбра пропорциональны числам 3, 7 и 8. Найдите диагональ параллелепипеда.

Пусть измерения (рёбра) прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны $a$, $b$ и $c$.

Согласно условию, рёбра параллелепипеда пропорциональны числам 3, 7 и 8. Это означает, что их длины можно выразить через коэффициент пропорциональности $k$:
$a = 3k$
$b = 7k$
$c = 8k$

Три грани, имеющие общую вершину, представляют собой прямоугольники с площадями $S_1 = ab$, $S_2 = ac$ и $S_3 = bc$. Сумма их площадей, по условию, равна 404 дм². Составим уравнение:
$ab + ac + bc = 404$

Подставим в это уравнение выражения для $a$, $b$ и $c$ через $k$:
$(3k)(7k) + (3k)(8k) + (7k)(8k) = 404$

Выполним умножение и упростим выражение:
$21k^2 + 24k^2 + 56k^2 = 404$

Сложим коэффициенты при $k^2$:
$(21 + 24 + 56)k^2 = 404$
$101k^2 = 404$

Теперь найдём значение $k^2$:
$k^2 = \frac{404}{101} = 4$

Поскольку длина ребра не может быть отрицательной, коэффициент пропорциональности $k$ должен быть положительным числом:
$k = \sqrt{4} = 2$

Зная коэффициент $k$, мы можем определить длины рёбер параллелепипеда:
$a = 3k = 3 \cdot 2 = 6$ дм
$b = 7k = 7 \cdot 2 = 14$ дм
$c = 8k = 8 \cdot 2 = 16$ дм

Квадрат диагонали $d$ прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений. Формула для нахождения диагонали:
$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Подставим найденные значения длин рёбер в эту формулу:
$d^2 = 6^2 + 14^2 + 16^2 = 36 + 196 + 256 = 488$

Чтобы найти длину диагонали $d$, извлечём квадратный корень из полученного значения:
$d = \sqrt{488} = \sqrt{4 \cdot 122} = 2\sqrt{122}$ дм

Ответ: $2\sqrt{122}$ дм.